正规子群与商群：陪集的代数结构

正规子群是那些可以"安全地"做商群的子群。并非所有子群都是正规的——只有满足共轭不变性的子群才能定义良好的商群运算。商群把群"压缩"成一个更小的群，同时保留其核心结构。

正规子群的定义

定义

设 \(N \leq G\)。若对任意 \(g \in G\) 和 \(n \in N\)，有 \(gng^{-1} \in N\)，则称 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，记作 \(N \unlhd G\)。

正规子群在共轭变换下不变。通俗地说，无论你用什么元素 \(g\) 去"转动" \(N\) 里的元素，得到的还是在 \(N\) 里。

考虑正方形的对称群 \(D_4\)，它包含 4 个旋转和 4 个翻转。令 \(N = \{0°, 90°, 180°, 270°\}\) 为所有旋转构成的子群。取一个翻转 \(g\)，共轭 \(gng^{-1}\) 的意思是"先翻转、再旋转、再翻回来"——结果仍然是某个旋转。所以 \(N \unlhd D_4\)：旋转子群在任何翻转的共轭下都不会"跑出去"。

反例：取 \(H = \{0°, \text{水平翻转}\}\)，它只是一个子群而非正规子群。对 \(90°\) 旋转做共轭：\(90° \circ \text{水平翻转} \circ (-90°) = \text{垂直翻转} \notin H\)。翻转的"方向"被旋转改变了，\(H\) 没能保持不变。

上面讨论到的子群 \(N\)，其实需要作用于 \(N\) 的元素只需考虑 \(N\) 外面的元素就好，因为对于 \(N\) 内部元素来说，共轭变换之后依然是在 \(N\) 内。因为 \(nnn^{-1} = ne = n \in N\)。

正规子群的判定

定理：正规子群的等价条件

以下条件等价：

1. \(N \unlhd G\)
2. \(gNg^{-1} = N\)（对任意 \(g \in G\)）
3. \(gN = Ng\)（左陪集等于右陪集，对任意 \(g \in G\)）
4. 由 \(N\) 的左陪集构成的划分等于右陪集构成的划分

• 1 \(\Rightarrow\) 2：\(gNg^{-1} \subseteq N\)，两边同乘 \(g^{-1}\) 和 \(g\) 得 \(N \subseteq g^{-1}Ng\)，代换 \(g \mapsto g^{-1}\) 得 \(N \subseteq gNg^{-1}\)，故相等。
• 2 \(\Rightarrow\) 3：\(gN = \{gn \mid n \in N\} = \{gng^{-1}g \mid n \in N\} = (gNg^{-1})g = Ng\)。
• 3 \(\Rightarrow\) 1：若 \(gN = Ng\)，则对任意 \(n \in N\)，存在 \(n' \in N\) 使 \(gn = n'g\)，于是 \(gng^{-1} = n' \in N\)，故正规。

在阿贝尔群中，所有子群都是正规的，因为 \(gng^{-1} = ngg^{-1} = n\)。

例子

例1：平凡正规子群

对任意群 \(G\)，\(\{e\}\) 和 \(G\) 本身都是正规子群。

例2：核是正规子群

若 \(\phi: G \to H\) 是同态，则 \(\ker(\phi) \unlhd G\)。

（这是正规子群最重要的来源！）

例3：交错群 \(A_n\)

\(A_n \unlhd S_n\)，因为 \(S_n / A_n \cong \{\pm 1\}\)，这是一个商群。

例4：中心

群 \(G\) 的中心 \(Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz, \forall g \in G\}\) 是正规子群。

例5：非正规子群的例子

在 \(S_3\) 中，\(H = \{e, (12)\}\) 不是正规子群。

验证：取 \(g = (123)\)，\(n = (12)\)，则 \(gng^{-1} = (123)(12)(132) = (13) \notin H\)。

商群

定义

设 \(N \unlhd G\)。在左陪集集合 \(G/N = \{gN \mid g \in G\}\) 上定义运算： \[(aN)(bN) = (ab)N\]

这构成一个群，称为 商群 \(G/N\)。

定理：商群运算的良定义性

若 \(N \unlhd G\)，则上述运算与代表元选择无关，\(G/N\) 确实是一个群。

设 \(aN = a'N\)，\(bN = b'N\)，即 \(a^{-1}a' \in N\)，\(b^{-1}b' \in N\)。需要证 \((ab)N = (a'b')N\)。

\((ab)^{-1}(a'b') = b^{-1}a^{-1}a'b' = b^{-1}(a^{-1}a')b'\)。

由于 \(a^{-1}a' \in N\)，且 \(N\) 正规，存在 \(n \in N\) 使 \(a^{-1}a' = n\)，于是： \[(ab)^{-1}(a'b') = b^{-1}nb' = (b^{-1}nb) \cdot (b^{-1}b')\] 由正规性，\(b^{-1}nb \in N\)，故整个乘积在 \(N\) 中，故相等。

单位元是 \(N\)，\((aN)^{-1} = a^{-1}N\)。

商群的例子

例1：整数模 \(n\)

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的商群。

例2：商群 \(S_n / A_n\)

\(S_n / A_n \cong \{\pm 1\}\)（奇偶两类）。

例3：循环群的商群

设 \(G = \langle a \rangle\) 是循环群，\(H = \langle a^d \rangle\) 是子群，其中 \(d \mid n\)（\(n = |G|\)）。

则 \(G/H \cong \langle a \rangle / \langle a^d \rangle \cong \mathbb{Z}_d\)。

正规子群与同态

定理：正规子群作为同态的核

若 \(N \unlhd G\)，则自然同态 \(\pi: G \to G/N\)，\(g \mapsto gN\) 是满同态，且 \(\ker(\pi) = N\)。

反过来，若 \(\phi: G \to H\) 是同态，则 \(\ker(\phi) \unlhd G\)。

\(\ker(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\}\)。对任意 \(k \in \ker(\phi)\)，\(g \in G\)，有： \[\phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\phi(k)\phi(g)^{-1} = \phi(g)e_H\phi(g)^{-1} = e_H\] 故 \(gkg^{-1} \in \ker(\phi)\)，所以核是正规子群。

这个定理告诉我们：正规子群 ↔︎ 同态的核。这是正规子群理论的核心。

中心与换位子

中心 \(Z(G)\)

\(Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz, \forall g \in G\}\)

• \(Z(G) \unlhd G\)
• \(G/Z(G)\) 称为中心化商

换位子群

定义换位子 \([a, b] = aba^{-1}b^{-1}\)。

\(G\) 的换位子群（或导群）\(G' = \langle [a, b] \mid a, b \in G \rangle\) 是最小的使得 \(G/G'\) 是阿贝尔群的正规子群。

小结

• 正规子群在共轭下不变
• \(N \unlhd G\) 当且仅当 \(gN = Ng\)
• 正规子群是那些可以作为同态核的子群
• 商群 \(G/N\) 把群 \(G\) 按正规子群 \(N\) 划分
• 阿贝尔群的子群都是正规的

正规子群和商群是群论的核心概念。理解它们之后，我们就能更好地理解同构定理，并最终进入伽罗瓦理论——研究域扩张与群结构的对应关系。

概念关系图

下图展示了本篇的核心概念及其相互关系：