群同态与同构：群之间的映射

同态和同构是连接不同群的桥梁。同态保持群的结构，同构则意味着两个群在本质上是一样的。三个同构定理是群论中最核心的工具，它们将陪伴我们后续学习商群、环同态、直积等概念。

同态的定义

定义

设 \((G, \circ)\) 和 \((H, \cdot)\) 是两个群。映射 \(\phi: G \to H\) 称为群同态（homomorphism），若对任意 \(a, b \in G\)： \[\phi(a \circ b) = \phi(a) \cdot \phi(b)\]

同态就是"结构保持"的映射。它把 \(G\) 中的运算对应到 \(H\) 中的运算——在 \(G\) 里先做运算再映射，等于先映射再到 \(H\) 里做运算。想象两种语言：同态就是"翻译字典"，把一种语言中的"句子"（运算结果）翻译成另一种语言中意义相同的句子。

同态的类型

• 单同态（monomorphism）：\(\phi\) 是单射
• 满同态（epimorphism）：\(\phi\) 是满射
• 同构（isomorphism）：\(\phi\) 是双射（既单又满）
• 自同态（endomorphism）：\(G \to G\) 的同态
• 自同构（automorphism）：\(G \to G\) 的同构

记 \(G \cong H\) 表示同构。

同态的基本性质

定理：同态的基本性质

设 \(\phi: G \to H\) 是同态，则：

1. \(\phi(e_G) = e_H\)（单位元映射到单位元）
2. \(\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}\)（逆元映射到逆元）
3. \(\phi(a^n) = \phi(a)^n\)（\(n\) 次幂对应）

1. 取任意 \(a \in G\)，有 \(\phi(e_G)a = \phi(e_Ga) = \phi(a) = e_H\phi(a)\)，由消去律得 \(\phi(e_G) = e_H\)。

2. \(\phi(a)\phi(a^{-1}) = \phi(aa^{-1}) = \phi(e_G) = e_H\)，故 \(\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}\)。

3. 由归纳法可直接得证。

核与像

定义

设 \(\phi: G \to H\) 是同态。

• 核（kernel）：\(\ker(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\}\)
• 像（image）：\(\text{Im}(\phi) = \{\phi(g) \mid g \in G\}\)

定理：核与单射

\(\phi\) 是单射当且仅当 \(\ker(\phi) = \{e_G\}\)。

（\(\Rightarrow\)）若 \(\phi\) 单射，\(e_G\) 的原像只有 \(e_G\) 本身，故 \(\ker(\phi) = \{e_G\}\)。

（\(\Leftarrow\)）若 \(\ker(\phi) = \{e_G\}\)，设 \(\phi(a) = \phi(b)\)，则 \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)\phi(b)^{-1} = e_H\)，故 \(ab^{-1} \in \ker(\phi) = \{e_G\}\)，于是 \(ab^{-1} = e_G\)，即 \(a = b\)。故单射。

定理：核与像都是子群

• \(\ker(\phi) \leq G\)
• \(\text{Im}(\phi) \leq H\)

验证核：\(e_G \in \ker(\phi)\)；若 \(a, b \in \ker(\phi)\)，则 \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)\phi(b)^{-1} = e_H e_H^{-1} = e_H\)，故 \(ab^{-1} \in \ker(\phi)\)。由子群判定法，\(\ker(\phi) \leq G\)。

像：类似可证 \(\text{Im}(\phi) \leq H\)。

同构定理

定理：第一同构定理（群同构基本定理）

设 \(\phi: G \to H\) 是同态，则： \[G / \ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi)\]

令 \(K = \ker(\phi)\)。定义映射 \(\bar{\phi}: G/K \to \text{Im}(\phi)\)，\(aK \mapsto \phi(a)\)。

需要验证这是良定义的：若 \(aK = bK\)，则 \(b^{-1}a \in K\)，于是 \(\phi(b^{-1}a) = e_H\)，故 \(\phi(b)^{-1}\phi(a) = e_H\)，即 \(\phi(a) = \phi(b)\)。

\(\bar{\phi}\) 是： - 同态：\(\bar{\phi}(aK \cdot bK) = \bar{\phi}(abK) = \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = \bar{\phi}(aK)\bar{\phi}(bK)\) - 满射：对任意 \(h \in \text{Im}(\phi)\)，存在 \(a \in G\) 使 \(\phi(a) = h\)，故 \(\bar{\phi}(aK) = h\) - 单射：若 \(\bar{\phi}(aK) = e_H\)，则 \(\phi(a) = e_H\)，故 \(a \in K\)，即 \(aK = K\)

故为同构。

第一同构定理是群论中最重要的定理之一。它的核心思想可以用一句话概括：把"看不到差别"的元素合并之后，剩下的结构就是像的结构。

打个比方：假设你有一台"翻译机"（同态 \(\phi\)），它把中文句子翻译成英文句子。有些不同的中文句子翻译出来是同一个英文句子（比如"我喜欢猫"和"猫被我喜欢"都翻译成 "I like cats"）。核 \(\ker(\phi)\) 就是那些被翻译成"空话"（单位元）的句子。如果我们把"翻译结果相同"的中文句子合并成一组（即商群 \(G/\ker(\phi)\)），那么这些"组"就和翻译输出的英文句子（像 \(\text{Im}(\phi)\)）一一对应。

换句话说：同态的"模糊度"（核）被商掉之后，映射就变得"清晰"（同构）了。

例子

取 \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_6\)，定义 \(\phi(n) = n \bmod 6\)。

• \(\phi\) 是满同态（每个 \(\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \bar{5}\) 都能被映到）
• \(\ker(\phi) = 6\mathbb{Z} = \{\ldots, -12, -6, 0, 6, 12, \ldots\}\)（被映到 \(\bar{0}\) 的整数恰好是 6 的倍数）
• 商群 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 的元素是 \(\{0+6\mathbb{Z},\ 1+6\mathbb{Z},\ \ldots,\ 5+6\mathbb{Z}\}\)

由第一同构定理：

\[\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_6\]

这正印证了我们之前学过的事实——\(\mathbb{Z}_6\) 本质上就是整数按"模 6 余数"分组后得到的群。

定理：第二同构定理

设 \(H \leq G\)，\(N \leq G\) 且 \(N \unlhd G\)（\(N\) 是 \(G\) 的正规子群），则： \[HN / N \cong H / (H \cap N)\]

定义 \(\phi: H \to HN/N\)，\(h \mapsto hN\)。

• \(\phi\) 是同态：\(\phi(h_1 h_2) = h_1 h_2 N = (h_1 N)(h_2 N) = \phi(h_1)\phi(h_2)\)
• \(\ker(\phi) = \{h \in H \mid hN = N\} = H \cap N\)
• \(\text{Im}(\phi) = \{hN \mid h \in H\} = HN/N\)

由第一同构定理：\(H / (H \cap N) \cong HN/N\)。

通俗理解

第二同构定理也叫"菱形定理"（因为画出 \(G\)、\(H\)、\(N\)、\(H \cap N\)、\(HN\) 之间的子群关系图，恰好形成一个菱形）。

它的直觉是这样的：假设你有一个班级（\(G\)），里面有一个兴趣小组 \(H\)（比如数学社）和一个"被允许忽略"的标准 \(N\)（比如按宿舍楼分的组，是正规子群）。

• \(HN\) 是"数学社成员加上和他们同宿舍楼的人"构成的大团体
• \(HN/N\) 是"大团体里按宿舍楼分组"后的商群
• \(H \cap N\) 是"既在数学社又在同一宿舍楼标准组"里的人
• \(H/(H \cap N)\) 是"数学社内部按宿舍楼分组"后的商群

第二同构定理说：从外面（\(HN\)）看"数学社按宿舍楼分组"和从内部（\(H\)）看"数学社按宿舍楼分组"，结果是一样的——两种视角得到同构的群。

例子

取 \(G = \mathbb{Z}_{12}\)，\(H = \langle 2 \rangle = \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}\)，\(N = \langle 3 \rangle = \{0, 3, 6, 9\}\)。

• \(HN = \mathbb{Z}_{12}\)（因为 \(\gcd(2,3) = 1\)，\(H\) 和 \(N\) 一起生成整个群）
• \(H \cap N = \langle 6 \rangle = \{0, 6\}\)（既是 2 的倍数又是 3 的倍数，即 6 的倍数）

由第二同构定理：

\[HN/N = \mathbb{Z}_{12}/\langle 3 \rangle \cong H/(H \cap N) = \langle 2 \rangle / \langle 6 \rangle\]

左边：\(\mathbb{Z}_{12}/\langle 3 \rangle = \{\{0,3,6,9\},\ \{1,4,7,10\},\ \{2,5,8,11\}\} \cong \mathbb{Z}_3\)。

右边：\(\langle 2 \rangle / \langle 6 \rangle = \{\{0,6\},\ \{2,8\},\ \{4,10\}\} \cong \mathbb{Z}_3\)。

两边都是 \(\mathbb{Z}_3\)，同构成立。

定理：第三同构定理

设 \(N \leq K \leq G\)，且 \(N \unlhd G\)，则： \[G/K \cong (G/N)/(K/N)\]

定义 \(\phi: G/N \to G/K\)，\(gN \mapsto gK\)。

• \(\phi\) 是良定义的同态
• \(\ker(\phi) = K/N\)
• \(\text{Im}(\phi) = G/K\)

由第一同构定理：\((G/N)/(K/N) \cong G/K\)。

通俗理解

第三同构定理说的是：商了之后再商，等于一步到位直接商。

用公司组织架构来打比方。假设一家公司 \(G\) 有部门结构 \(K\)（比如"技术部"），技术部里面还有小组 \(N\)（比如"前端组"）。

• \(G/N\)：把公司按"前端组"分组——每个人只看他和"前端组"成员的关系
• \(K/N\)：在技术部内部，按"前端组"分组
• \((G/N)/(K/N)\)：先按前端组分，再按技术部分——相当于"分了两层"

第三同构定理告诉我们：分两步（先按小组分，再按部门分）和分一步（直接按部门分）得到的结果一样。这就像化简分数 \(\frac{a/b}{c/b} = \frac{a}{c}\)——公共的 \(N\) 可以"约掉"。

例子

取 \(G = \mathbb{Z}\)，\(K = 2\mathbb{Z}\)，\(N = 6\mathbb{Z}\)。此时 \(N \leq K \leq G\)（\(6\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}\)），且 \(N \unlhd G\)（\(\mathbb{Z}\) 是阿贝尔群）。

左边：\(G/K = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_2\)。

右边分两步： - \(G/N = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_6 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}\}\) - \(K/N = 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}\} \cong \mathbb{Z}_3\) - \((G/N)/(K/N) = \mathbb{Z}_6 / \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}\}\)，商群有 \(6/3 = 2\) 个元素，即 \(\cong \mathbb{Z}_2\)

由第三同构定理：\((G/N)/(K/N) \cong \mathbb{Z}_2 \cong G/K\)，验证成立。

直觉上：整数先按"模 6"分成 6 组，再把这 6 组按"奇偶"合并成 2 组，效果等同于整数直接按"奇偶"分成 2 组。

例子

例1：行列式映射

\(\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times\) 是满同态，核是 \(SL_n(\mathbb{R})\)。

由第一同构定理：\(GL_n(\mathbb{R}) / SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^\times\)。

例2：自然同态

对任意群 \(G\) 和正规子群 \(N \unlhd G\)，自然映射 \(\pi: G \to G/N\)，\(g \mapsto gN\) 是满同态，\(\ker(\pi) = N\)。

例3：符号映射

\(\text{sgn}: S_n \to \{\pm 1\}\) 是满同态，核是 \(A_n\)。

由第一同构定理：\(S_n / A_n \cong \{\pm 1\}\)，故 \(|S_n : A_n| = 2\)。

自同构群

定义

群 \(G\) 的所有自同构（\(G \to G\) 的同构）构成的群称为 自同构群，记作 \(\text{Aut}(G)\)。

例子

• \(\text{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong (\mathbb{Z}_n)^\times\)（因为生成元映射到生成元）
• \(\text{Aut}(S_3) \cong S_3\)（共轭变换都是自同构）
• \(\text{Aut}(\mathbb{Z}) \cong \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}_2\)

小结

• 同态是保持运算结构的映射
• 核 \(\ker(\phi)\) 是正规子群，像是子群
• 第一同构定理：\(G/\ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi)\)
• 第二、第三同构定理处理子群和商群的关系
• 同构是"本质上相同"的关系

同态和同构是研究群结构的核心工具。掌握这三个同构定理，将为后续学习商群、直积、伽罗瓦理论打下坚实基础。