置换群与对称群：有限群的核心

置换群是一类重要的有限群，它们由集合的置换（重新排列）组成。最典型的置换群是对称群 \(S_n\)（所有 \(n\) 元素的置换）和交错群 \(A_n\)（偶置换）。凯莱定理告诉我们：任何有限群都可以嵌入到某个置换群中。因此，理解置换群就理解了"所有有限群"。

置换的定义

定义

从集合 \(\{1, 2, \ldots, n\}\) 到自身的一个双射称为一个 \(n\) 元置换。

置换可以记作： \[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}\]

其中第二行是 \(\sigma\) 将每个元素映射到的结果。

置换就是对 \(n\) 个东西进行重新排列。比如

• 一副扑克牌洗牌
• 把 \(1, 2, 3, 4, 5\) 变成 \(3, 1, 5, 2, 4\)
• 有一排 \(n\) 个座位，现在让所有人重新坐到新的座位上

循环记号

定义

一个置换可以写成不相交循环的乘积，称为循环记号。

例如：\(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \end{pmatrix}\) 可以写成：

• \(1 \to 3 \to 5 \to 2 \to 1\) 形成循环 \((1352)\)
• \(4 \to 4\) 形成循环 \((4)\)

写成循环乘积：\(\sigma = (1352)(4) = (1352)\)（\(1\) 写成 \((1)\)）

循环的性质

• 循环长度：\((a_1 a_2 \ldots a_k)\) 是 \(k\)-循环，阶为 \(k\)
• 不相交循环可交换：若两循环没有公共元素，则它们可交换
• 任何置换都可唯一分解为不相交循环的乘积（忽略长度为 \(1\) 的循环）

例子

• \((123)\)：\(1 \to 2 \to 3 \to 1\)，是 \(3\)-循环，阶为 \(3\)
• \((12)(34)\)：两个 \(2\)-循环的乘积，阶为 \(2\)（因为 \((12)(34)\) 自乘两次得单位）

不相交循环乘积的阶

不相交循环同时作用，互不干扰。因此乘积的阶是各循环阶的最小公倍数，而非求和： \[\operatorname{ord}(\sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_k) = \operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(\sigma_1),\, \operatorname{ord}(\sigma_2),\, \ldots,\, \operatorname{ord}(\sigma_k))\]

以 \((12)(34)\) 为例：两个 \(2\)-循环各自只需 \(2\) 步就回到原位，而它们并行执行，所以整体也只需 \(\operatorname{lcm}(2,2) = 2\) 步。如果是 \((123)(45)\)，则阶为 \(\operatorname{lcm}(3,2) = 6\)。

奇置换与偶置换

定义

一个置换可以分解为若干个对换（\(2\)-循环）的乘积。对换个数的奇偶性称为置换的奇偶性：

• 偶置换：可分解为偶数个对换的乘积
• 奇置换：可分解为奇数个对换的乘积

定理：奇偶性的唯一性

任何置换不能同时分解为偶数个和奇数个对换。

考虑多项式 \(\Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)\)。对换 \(\tau = (ab)\) 作用于变量时，恰好改变 \(\Delta\) 的符号一次。因此：

• 偶置换保持 \(\Delta\) 的符号
• 奇置换改变 \(\Delta\) 的符号

故同一置换不能同时是偶置换又是奇置换。

对称群 \(S_n\)

定义

所有 \(n\) 元置换的集合，在复合运算下构成一个群，称为 \(n\) 次对称群，记作 \(S_n\)。注意，这个群的元素是置换，操作是置换的复合运算。

\(|S_n| = n!\)（\(n\) 的阶乘），因为有 \(n!\) 种可能的排列方式。

例子

\(S_1 = \{e\}\)，\(|S_1| = 1\)

\(S_2 = \{e, (12)\}\)，\(|S_2| = 2! = 2\)

\(S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}\)，\(|S_3| = 3! = 6\)

下面是 \(S_3\) 更详细的表述

轮换记号	含义	矩阵写法
\(e\)	恒等：1→1, 2→2, 3→3	\(\binom{1\ 2\ 3}{1\ 2\ 3}\)
\((12)\)	交换 1 和 2：1→2, 2→1, 3→3	\(\binom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}\)
\((13)\)	交换 1 和 3：1→3, 2→2, 3→1	\(\binom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}\)
\((23)\)	交换 2 和 3：1→1, 2→3, 3→2	\(\binom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}\)
\((123)\)	轮转：1→2→3→1	\(\binom{1\ 2\ 3}{2\ 3\ 1}\)
\((132)\)	反向轮转：1→3→2→1	\(\binom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}\)

(123) 不是"元组 (1,2,3)"，而是"把 1 送到 2，把 2 送到 3，把 3 送回 1"这个循环置换。括号里的数字按顺序形成一条"链"，最后一个元素回到第一个。

\(S_3\) 是最小的非阿贝尔群！它的结构我们在之前已经见过——正三角形的对称群。

交错群 \(A_n\)

定义

所有偶置换的集合构成 \(S_n\) 的一个子群，称为 \(n\) 次交错群，记作 \(A_n\)。

\(|A_n| = n!/2\)。

例子

\(A_3 = \{e, (123), (132)\}\)，\(|A_3| = 3!/2 = 3\)

为什么 \(S_3\) 中 \(e\)、\((123)\)、\((132)\) 是偶置换，而 \((12)\)、\((13)\)、\((23)\) 是奇置换？

关键在于把每个置换拆成对换（\(2\)-循环）的乘积，数一下用了几个对换：

置换	对换分解	对换个数	奇偶性
\(e\)（恒等）	不需要对换（\(0\) 个）	\(0\)（偶数）	偶
\((12)\)	本身就是 \(1\) 个对换	\(1\)（奇数）	奇
\((13)\)	本身就是 \(1\) 个对换	\(1\)（奇数）	奇
\((23)\)	本身就是 \(1\) 个对换	\(1\)（奇数）	奇
\((123)\)	\((12)(23)\)：先交换 \(2,3\)，再交换 \(1,2\)	\(2\)（偶数）	偶
\((132)\)	\((13)(23)\)：先交换 \(2,3\)，再交换 \(1,3\)	\(2\)（偶数）	偶

一般规律：\(k\)-循环可以分解为 \(k-1\) 个对换，所以 \(3\)-循环需要 \(2\) 个对换（偶），\(2\)-循环本身就是 \(1\) 个对换（奇）。

\(A_4 = \{e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}\)，\(|A_4| = 4!/2 = 12\)

💡 \(A_n\) 是 \(S_n\) 的指数为 \(2\) 的子群（因为奇偶两类陪集）。这是拉格朗日定理的直接应用：\(|S_n : A_n| = 2\)！

置换群的子群

例子：\(D_n\) 二面体群

正 \(n\) 边形的对称群（旋转 + 翻转）称为 二面体群 \(D_n\)。

\(|D_n| = 2n\)，包含：

• \(n\) 个旋转：\(r^k\)，\(k = 0, 1, \ldots, n-1\)
• \(n\) 个翻转：\(sr^k\)，\(k = 0, 1, \ldots, n-1\)

例如 \(D_3 \cong S_3\)（正三角形的对称群），\(D_4\) 是正方形的对称群（\(8\) 个元素）。

凯莱定理（Cayley's Theorem）：嵌入置换群

定理：凯莱定理

任意 \(n\) 阶有限群 \(G\) 同构于 \(S_n\) 的某个子群。更一般地，\(G\) 同构于 \(S_{|G|}\) 的一个子群。

设 \(G = \{g_1, g_2, \ldots, g_n\}\)。对每个 \(g \in G\)，定义集合上的左乘映射： \[L_g: G \to G, \quad L_g(h) = gh\]

可以验证：

1. \(L_g\) 是双射（因为 \(L_g^{-1} = L_{g^{-1}}\)）
2. \(L_g \circ L_h = L_{gh}\)

于是映射 \(g \mapsto L_g\) 是从 \(G\) 到 \(S_{|G|}\) 的同态，且是单射（若 \(L_g = L_h\)，则对所有 \(h\) 有 \(gh = hh\)，取 \(h = e\) 得 \(g = e\)）。

故 \(G \cong \text{Im}(g \mapsto L_g) \leq S_{|G|}\)。

通俗理解

凯莱定理的本质可以用一句话概括：群元素的"乘法"本身就是一种"重排"。

用一个具体例子来说明。取 \(\mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}\)（模 \(3\) 加法群），它有三个元素，群运算是模 \(3\) 的加法。

现在做这样一件事：挑出群里的一个元素，让它去"左乘"（这里是"左加"）群的每个元素，看看整个群被重排成了什么样。

• 挑 \(0\)：\(0+0=0,\; 0+1=1,\; 0+2=2\) → 排列没变，就是恒等置换
• 挑 \(1\)：\(1+0=1,\; 1+1=2,\; 1+2=0\) → \(0\) 跑到了 \(1\) 的位置，\(1\) 跑到了 \(2\) 的位置，\(2\) 跑到了 \(0\) 的位置——这是一次轮转！
• 挑 \(2\)：\(2+0=2,\; 2+1=0,\; 2+2=1\) → 又是一次不同的轮转

看到了吗？每选一个群元素，就自然产生了一种"重排方式"，也就是一个置换。而且：

• 不同的元素产生不同的置换：如果 \(g \neq h\)，那么 \(g\) 和 \(h\) 至少把单位元 \(e\) 送到了不同位置（\(ge \neq he\)），所以对应的重排一定不同
• 运算被保留：先"左加 \(1\)"再"左加 \(1\)"，效果等于直接"左加 \(2\)"——群运算和置换的复合完全一致

所以整个群被"原封不动"地嵌入到了置换群中——这就是凯莱定理的核心。下面我们把这个过程写得更详细。

例子：\(\mathbb{Z}_3\) 嵌入 \(S_3\)

我们用最简单的非平凡例子来完整演示。取 \(G = \mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}\)（模 \(3\) 加法群）。

第一步：给元素编号

把群元素排成一列，标记位置：

位置	1	2	3
元素	\(0\)	\(1\)	\(2\)

第二步：每个元素对应一个"左乘"（这里是加法，所以是"左加"）

• \(L_0\)："每个元素加 \(0\)" → \(0 \to 0,\; 1 \to 1,\; 2 \to 2\) → 位置不变 → 对应置换 \(e\)
• \(L_1\)："每个元素加 \(1\)" → \(0 \to 1,\; 1 \to 2,\; 2 \to 0\) → 位置 \(1 \to 2,\; 2 \to 3,\; 3 \to 1\) → 对应置换 \((123)\)
• \(L_2\)："每个元素加 \(2\)" → \(0 \to 2,\; 1 \to 0,\; 2 \to 1\) → 位置 \(1 \to 3,\; 2 \to 1,\; 3 \to 2\) → 对应置换 \((132)\)

第三步：验证运算保持

在 \(\mathbb{Z}_3\) 中：\(1 + 1 = 2\)

对应的置换：\(L_1 \circ L_1 = (123) \circ (123) = (132) = L_2\) ✓

于是 \(\mathbb{Z}_3 \cong \{e, (123), (132)\}\)——这恰好就是交错群 \(A_3\)，是 \(S_3\) 的一个子群。

例子：克莱因四元群 \(V_4\) 嵌入 \(S_4\)

\(V_4 = \{e, a, b, c\}\)，运算表为：

\(\cdot\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(e\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(a\)	\(a\)	\(e\)	\(c\)	\(b\)
\(b\)	\(b\)	\(c\)	\(e\)	\(a\)
\(c\)	\(c\)	\(b\)	\(a\)	\(e\)

给元素编号：\(e = 1,\; a = 2,\; b = 3,\; c = 4\)。

• \(L_e\)：\(1 \to 1,\; 2 \to 2,\; 3 \to 3,\; 4 \to 4\) → \(e\)
• \(L_a\)：\(ae=a,\; aa=e,\; ab=c,\; ac=b\) → \(1 \to 2,\; 2 \to 1,\; 3 \to 4,\; 4 \to 3\) → \((12)(34)\)
• \(L_b\)：\(be=b,\; ba=c,\; bb=e,\; bc=a\) → \(1 \to 3,\; 2 \to 4,\; 3 \to 1,\; 4 \to 2\) → \((13)(24)\)
• \(L_c\)：\(ce=c,\; ca=b,\; cb=a,\; cc=e\) → \(1 \to 4,\; 2 \to 3,\; 3 \to 2,\; 4 \to 1\) → \((14)(23)\)

于是 \(V_4 \cong \{e,\; (12)(34),\; (13)(24),\; (14)(23)\} \leq S_4\)。

💡 注意：这也恰好是 \(A_4\) 的一个子群（四个元素都是偶置换），它就是 \(A_4\) 中著名的正规子群。

定理的意义与局限

意义：凯莱定理建立了一座桥梁——它说明"抽象群"和"具体的置换"之间没有本质区别。任何群论问题原则上都可以转化为置换群的问题。

局限：虽然理论上很完美，但凯莱定理给出的嵌入 \(G \hookrightarrow S_{|G|}\) 通常效率很低。一个 \(n\) 阶群被嵌入到了 \(n!\) 阶的 \(S_n\) 中。比如 \(|\mathbb{Z}_6| = 6\)，凯莱定理把它嵌入 \(S_6\)（\(720\) 个元素），但实际上 \(\mathbb{Z}_6\) 可以更高效地嵌入到 \(S_6\) 中作为一个 \(6\)-循环 \(\langle (123456) \rangle\)，甚至通过中国剩余定理嵌入 \(S_2 \times S_3\)。

💡 凯莱定理告诉我们：任何有限群都可以"看作"某个置换群的子群！从这个意义上说，置换群是"通用的"有限群。后续学习中，我们会见到更精细的嵌入方法——群作用，它是凯莱定理的推广，能给出更高效的表示。

小结

• 置换是对 \(n\) 个元素的重排，\(n\) 元置换全体构成 \(S_n\)
• 任意置换可唯一分解为不相交循环的乘积
• 置换分为奇偶两类，偶置换构成交错群 \(A_n\)
• \(|S_n| = n!\)，\(|A_n| = n!/2\)
• 凯莱定理：任何有限群同构于某个置换群的子群

置换群是有限群论的核心例子。\(S_n\) 和 \(A_n\) 的结构（尤其是 \(n \geq 5\) 时的不可解性）将在伽罗瓦理论中发挥关键作用。

概念关系图

下图展示了本篇核心概念——置换、对称群、交错群、凯莱定理——及其相互关系：