群 - 从具体到抽象

群是抽象代数最基础也是最重要的概念之一。它抽象出了"对称"和"运算可逆"这两种数学结构的共同本质。从几何图形的对称变换到整数的加法，群无处不在。

群的定义

定义

设 \(G\) 是一个非空集合，\(\circ\) 是 \(G\) 上的一个二元运算。若满足以下四条公理，则称 \((G, \circ)\) 是一个群：

• 封闭性：对任意 \(a, b \in G\)，有 \(a \circ b \in G\)
• 结合律：对任意 \(a, b, c \in G\)，有 \((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)
• 单位元存在：存在 \(e \in G\)，使得对任意 \(a \in G\)，有 \(e \circ a = a \circ e = a\)
• 逆元存在：对任意 \(a \in G\)，存在 \(a^{-1} \in G\)，使得 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)

若还满足交换律：\(a \circ b = b \circ a\)，则称 \((G, \circ)\) 为阿贝尔群（Abel 群或交换群）。

群本质上就是一个"可以运算且运算可逆"的集合。

• 封闭性：意味着你随便拿出两个元素做运算，结果永远不会"跑出"这个集合
• 结合律：意味着多个元素连续运算时，加括号的位置不影响结果
• 单位元：相当于"什么都不做"的元素，加法中的 \(0\)，乘法中的 \(1\)
• 逆元：相当于"撤销操作"，让你能够"回到原点"

群的例子

整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\)

验证 \((\mathbb{Z}, +)\) 是阿贝尔群：

• 封闭性：整数 + 整数 = 整数
• 结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)
• 单位元：\(0\)，因为 \(0 + a = a + 0 = a\)
• 逆元：对每个 \(a\)，其逆元是 \(-a\)，因为 \(a + (-a) = 0\)
• 交换律：\(a + b = b + a\)

类似地，\((\mathbb{Q}, +)\)、\((\mathbb{R}, +)\)、\((\mathbb{C}, +)\) 都是阿贝尔群。

非零有理数乘法群 \((\mathbb{Q}^\times, \times)\)

这里 \(\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)。

• 封闭性：非零有理数 × 非零有理数 = 非零有理数
• 结合律：\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
• 单位元：\(1\)，因为 \(1 \times a = a \times 1 = a\)
• 逆元：对每个 \(a \neq 0\)，其逆元是 \(\frac{1}{a}\)

之所以去掉 \(0\)，是因为其没有逆元。类似地，\((\mathbb{R}^\times, \times)\)、\((\mathbb{C}^\times, \times)\) 都是阿贝尔群。

\(n\) 阶可逆矩阵群 \(GL_n(\mathbb{R})\)

所有 \(n \times n\) 可逆实矩阵的集合，在矩阵乘法下构成一个群，称为一般线性群。

• 封闭性：可逆矩阵 × 可逆矩阵 = 可逆矩阵
• 结合律：矩阵乘法满足结合律
• 单位元：单位矩阵 \(I_n\)
• 逆元：每个可逆矩阵的逆矩阵

注意：\(GL_n(\mathbb{R})\) 是非阿贝尔群（当 \(n \geq 2\) 时），因为矩阵乘法一般不满足交换律！

正多角形的对称群 \(D_n\)

考虑正三角形的对称变换：旋转（\(0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\)）和翻转（关于三条对称轴的翻转）。这些变换在"复合"运算下构成一个群，共有 \(6\) 个元素，称为二面体群（Dihedral group） \(D_3\)（或 \(S_3\)）。

对于正多边形同理，正多边形有 \(n\) 个旋转操作和 \(n\) 个翻转操作，共 \(2n\) 个元素。不过这些操作一般不具备交换性，需要注意。

模 \(n\) 整数加法群 \(\mathbb{Z}_n\)

在商集 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 上定义加法：\(([a] + [b] = [a+b])\)。这构成一个阿贝尔群。

例如 \(\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}\)，其中： - \([3] + [4] = [7] = [1]\) - \([2] + [5] = [7] = [1]\)

群的基本性质

定理：单位元的唯一性

若 \(e\) 和 \(e'\) 都是群 \(G\) 的单位元，则 \(e = e'\)。

由于 \(e\) 是单位元，有 \(e \cdot e' = e'\) 由于 \(e'\) 也是单位元，有 \(e \cdot e' = e\)
故 \(e = e'\)

定理：逆元的唯一性

每个元素的逆元是唯一的。

设 \(a\) 有两个逆元 \(b\) 和 \(c\)，即 \(a \cdot b = b \cdot a = e\)，\(a \cdot c = c \cdot a = e\) 则 \(b = b \cdot e = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = e \cdot c = c\)（使用结合律改变括号位置） 故逆元唯一

定理：消去律

在群中：

• 若 \(a \cdot b = a \cdot c\)，则 \(b = c\)（左消去律）
• 若 \(b \cdot a = c \cdot a\)，则 \(b = c\)（右消去律）。

设 \(a \cdot b = a \cdot c\)。两边左乘 \(a^{-1}\)： \[a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot (a \cdot c)\] 由结合律：\((a^{-1} \cdot a) \cdot b = (a^{-1} \cdot a) \cdot c\) 即 \(e \cdot b = e \cdot c\)，故 \(b = c\)。

右消去律同理。

消去律是一个很重要的性质。在整数中，若 \(a + b = a + c\)，则 \(b = c\)（因为可以两边减去 \(a\)）。群的消去律本质上就是"在等式两边同时消掉同一个元素"。

群的阶与元素的阶

定义

• 群 \(G\) 的阶 \(|G|\)：群中元素的个数（可以是有限或无限）
• 元素 \(a\) 的阶 \(|a|\)：使得 \(a^n = e\) 的最小正整数 \(n\)，若不存在则称 \(a\) 为无限阶

例

• \(|\mathbb{Z}| = \infty\)（无限群），\(|\mathbb{Z}_6| = 6\)（有限群）
• 在 \(\mathbb{Z}_6\) 中，\([2]\) 的阶是 \(3\)，因为 \([2]+[2]+[2] = [6] = [0]\)，而 \(2\) 次不够
• 在 \((\mathbb{Z}, +)\) 中，每个非零元素的阶都是无限

小结

• 群是一个带有满足四条公理的二元运算的集合：封闭性、结合律、单位元、逆元
• 若运算还满足交换律，则为阿贝尔群
• 群无处不在：整数加法、可逆矩阵变换、几何对称等
• 群有唯一单位元、唯一逆元，并满足消去律
• 群的阶是元素个数，元素的阶是使其回到单位元的最小正整数

概念关系图

下图展示了本篇关于群的核心概念及其相互关系：