循环群与生成元：最"简单"的群

循环群是最简单的一类群，它们由一个元素反复运算生成。循环群的结构完全清晰——它们要么同构于整数加法群，要么同构于模 \(n\) 剩余类加法群。理解循环群是理解更复杂群结构的起点。

循环群的定义

定义

若存在 \(a \in G\)，使得 \(G = \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)，则称 \(G\) 是循环群，\(a\) 称为 \(G\) 的一个生成元。

通俗解释

循环群就是可以"绕圈"的群。从一个元素 \(a\) 出发，不断做运算 \(a, a^2, a^3, \ldots\)，如果最后能回到单位元，那就形成一个有限的"圈"；如果永远回不来，那就是一个无限的"链"。

💡 想象一个时钟：指针从 \(12\) 点出发，转到 \(1\) 点、再转到 \(2\) 点……转了一圈后又回到 \(12\) 点。

循环群的例子

整数加法群 \(\mathbb{Z}\)

\(\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)，是无限循环群。

注意 \(\langle 1 \rangle = \{1^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)，这里 \(1^n\) 在加法群中就是 \(n \cdot 1 = n\)。关键在于 \(n\) 取遍所有整数，不只是正整数：

• \(n = 1, 2, 3, \ldots\) 得到 \(1, 2, 3, \ldots\)（反复加 \(1\)）
• \(n = 0\) 得到 \(0\)（单位元）
• \(n = -1, -2, -3, \ldots\) 得到 \(-1, -2, -3, \ldots\)（反复加 \(1\) 的逆元 \(-1\)）

所以"生成"不只是朝一个方向累加，还包括朝逆方向累加——\(-1\) 正是 \(1\) 的逆元，\(-2\) 就是两次加逆元，以此类推。

同理，\((-1)\) 也是生成元，因为 \(\langle -1 \rangle = \{\ldots, 2, 1, 0, -1, -2, \ldots\} = \mathbb{Z}\)。

模 \(n\) 加法群 \(\mathbb{Z}_n\)

\(\mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}\) 在加法下是 \(n\) 阶循环群。

例如 \(\mathbb{Z}_6 = \langle [1] \rangle\)：

• \([1]^1 = [1]\)
• \([1]^2 = [2]\)
• \([1]^3 = [3]\)
• \([1]^4 = [4]\)
• \([1]^5 = [5]\)
• \([1]^6 = [6] = [0]\)

\([2]\) 不是生成元，因为 \(\langle [2] \rangle = \{[0], [2], [4]\}\)。

\(n\) 次单位根群

复数乘法群 \(\mathbb{C}^\times\) 中的 \(n\) 次单位根： \[\mu_n = \{e^{2\pi i k/n} \mid k = 0, 1, \ldots, n-1\}\]

在乘法下构成 \(n\) 阶循环群，生成元是 \(e^{2\pi i/n}\)。

以 \(n = 6\) 为例，6 次单位根均匀分布在复平面的单位圆上：

循环群的结构

定理：循环群同构定理

1. 无限循环群：无限循环群同构于 \((\mathbb{Z}, +)\)
2. 有限循环群：\(n\) 阶循环群同构于 \((\mathbb{Z}_n, +)\)

设 \(G = \langle a \rangle\) 是循环群。

定义映射 \(\phi: \mathbb{Z} \to G\)，\(n \mapsto a^n\)：

• 若 \(G\) 无限，则 \(\phi\) 是双射，且 \(\phi(m+n) = a^{m+n} = a^m a^n = \phi(m)\phi(n)\)，故 \(G \cong \mathbb{Z}\)
• 若 \(|G| = n\)，则 \(a^n = e\)，令 \(\bar{n}\) 表示 \(n\) 的等价类，则 \(\phi(\bar{k}) = a^k\)，易验证这是双射且保持运算，故 \(G \cong \mathbb{Z}_n\)

这个定理告诉我们：所有循环群"本质上"就是 \(\mathbb{Z}\) 或 \(\mathbb{Z}_n\)！所以循环群的结构是完全清楚的。

生成元的判定

定理：\(\mathbb{Z}_n\) 的生成元

在 \(\mathbb{Z}_n\) 中，\([a]\) 是生成元当且仅当 \(\gcd(a, n) = 1\)。

\(\langle [a] \rangle = \{[ka] \mid k \in \mathbb{Z}\}\)。 若 \(\gcd(a, n) = d > 1\)，则 \(a = d \cdot a'\)，\(n = d \cdot n'\)，有 \(na = d \cdot n' \cdot a' = 0\) 在 \(\mathbb{Z}_n\) 中，所以循环子群的阶为 \(n/d < n\)，不能生成整个群。

若 \(\gcd(a, n) = 1\)，则存在整数 \(s, t\) 使得 \(sa + tn = 1\)（贝祖定理），于是 \([1] = [sa + tn] = [s][a]\)，故 \([1]\) 可以由 \([a]\) 的幂表示，故整个群可以生成。

推论：欧拉函数

\(\mathbb{Z}_n^\times = \{[a] \in \mathbb{Z}_n \mid \gcd(a, n) = 1\}\) 是乘法群，其阶为 \(\varphi(n)\)（欧拉函数）。

例如：

• \(\mathbb{Z}_6^\times = \{[1], [5]\}\)，\(\varphi(6) = 2\)
• \(\mathbb{Z}_7^\times = \{[1], [2], [3], [4], [5], [6]\}\)，\(\varphi(7) = 6\)（因为 \(7\) 是素数）

💡 费马小定理：若 \(\gcd(a, p) = 1\)，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)，这正是 \(| \mathbb{Z}_p^\times | = p-1\) 的拉格朗日定理的直接推论！

循环群的子群

定理：循环群的子群

设 \(G = \langle a \rangle\) 是循环群。

1. \(G\) 的每个子群都是循环群
2. 若 \(|G| = n\)，则对每个 \(d \mid n\)，恰好有一个 \(d\) 阶子群

设 \(H \leq G\)。若 \(H = \{e\}\)，则 \(H = \langle e \rangle\) 是循环群。

若 \(H \neq \{e\}\)，设 \(k\) 是使得 \(a^k \in H\) 的最小正整数。先证 \(H = \langle a^k \rangle\)：

• 由构造，\(a^k \in H\)，故 \(\langle a^k \rangle \subseteq H\)
• 对任意 \(a^m \in H\)，用带余除法 \(m = qk + r\)，其中 \(0 \leq r < k\)，则 \(a^r = a^{m-qk} \in H\)，由 \(k\) 的最小性得 \(r = 0\)，故 \(a^m = (a^k)^q \in \langle a^k \rangle\)

故 \(H = \langle a^k \rangle\) 是循环群。

若 \(|G| = n\)，设 \(H = \langle a^k \rangle\)，则 \(|H| = n / \gcd(k, n)\)。反之，对每个 \(d \mid n\)，取 \(k = n/d\)，则 \(a^k\) 生成的子群阶为 \(n/k = d\)。

例子：\(\mathbb{Z}_{12}\) 的子群

\(12\) 的因子有 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)，故 \(\mathbb{Z}_{12}\) 有唯一的：

• \(1\) 阶子群：\(\{[0]\}\)
• \(2\) 阶子群：\(\{[0], [6]\}\)
• \(3\) 阶子群：\(\{[0], [4], [8]\}\)
• \(4\) 阶子群：\(\{[0], [3], [6], [9]\}\)
• \(6\) 阶子群：\(\{[0], [2], [4], [6], [8], [10]\}\)
• \(12\) 阶子群：\(\mathbb{Z}_{12}\) 本身

中国剩余定理：循环群的应用

定理：中国剩余定理（群论版本）

若 \(\gcd(m, n) = 1\)，则 \(\mathbb{Z}_{mn} \cong \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\)。

定义 \(\phi: \mathbb{Z}_{mn} \to \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\)，\([k]_{mn} \mapsto ([k]_m, [k]_n)\)。

由于 \(\gcd(m, n) = 1\)，映射是：

• 单射：若 \(\phi([k]) = \phi([l])\)，则 \(k \equiv l \pmod{m}\) 且 \(k \equiv l \pmod{n}\)，由中国剩余定理，\(k \equiv l \pmod{mn}\)，故 \([k] = [l]\)
• 满射：两个有限群阶相等 (\(mn = mn\))，单射即满射

故为同构。

推论：欧拉函数的乘法公式

若 \(\gcd(m, n) = 1\)，则 \(\varphi(mn) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)\)。

因为 \(|\mathbb{Z}_{mn}^\times| = \varphi(mn)\)，而 \(|\mathbb{Z}_m^\times \times \mathbb{Z}_n^\times| = \varphi(m)\varphi(n)\)，同构给出相等。

小结

• 循环群由一个元素生成，结构完全清楚
• 无限循环群同构于 \(\mathbb{Z}\)，\(n\) 阶循环群同构于 \(\mathbb{Z}_n\)
• \(\mathbb{Z}_n\) 的生成元是那些与 \(n\) 互质的元素，个数为 \(\varphi(n)\)
• 循环群的子群仍是循环群，对每个因子 \(d \mid n\)，有唯一的 \(d\) 阶子群
• 循环群是理解更复杂群结构的基石

概念关系图

下图展示了本篇核心概念——循环群、生成元、结构定理、子群、应用——及其内部结构和相互关系：