子群与陪集：群的内部结构

学习完群的基本概念后，我们来探索群的内部结构。子群本身也是一个群；而陪集则是将群"分割"成若干等大块的工具。拉格朗日定理揭示了子群阶数与群阶数之间的深刻联系。

子群

定义

设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集。若 \(H\) 在 \(G\) 的运算下也构成一个群，则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，记作 \(H \leq G\)。

通俗解释

子群就是"群中套群"。\(H\) 中的元素不仅自己可以随便运算，而且运算结果还在 \(H\) 里面，同时 \(H\) 也包含单位元和逆元。子结构在数学中非常常见，比如线性代数里的子空间。

子群的判定定理

定理：子群的两步判定法

设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集。则 \(H \leq G\) 当且仅当：

1. 对任意 \(a, b \in H\)，有 \(ab \in H\)（封闭性）
2. 对任意 \(a \in H\)，有 \(a^{-1} \in H\)（逆元存在）

（\(\Rightarrow\)）若 \(H\) 是子群，则显然满足这两条。

（\(\Leftarrow\)）若满足两条：

• 由封闭性，运算在 \(H\) 上是二元运算
• 结合律继承自 \(G\)
• 取任意 \(a \in H\)，由 (2) 知 \(a^{-1} \in H\)，再由 (1) 取 \(b = a^{-1}\) 得 \(aa^{-1} = e \in H\)，故单位元存在
• 由 (2) 知逆元存在

故 \(H\) 是子群。

定理：子群的一步判定法

设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集。则 \(H \leq G\) 当且仅当对任意 \(a, b \in H\)，有 \(ab^{-1} \in H\)。

（\(\Rightarrow\)）若 \(H\) 是子群，则 \(b^{-1} \in H\)，再由封闭性得 \(ab^{-1} \in H\)。

（\(\Leftarrow\)）若条件成立：

• 取 \(a = b\)，得 \(bb^{-1} = e \in H\)
• 取 \(a = e\)，得 \(eb^{-1} = b^{-1} \in H\)
• 取任意 \(a, b \in H\)，由上步知 \(b^{-1} \in H\)，再由条件得 \(a(b^{-1})^{-1} = ab \in H\)

故满足两步判定法的条件，\(H\) 是子群。

一步判定法更常用，因为它只需要检验一个条件！

例子

整数加法群的子群

\((\mathbb{Z}, +)\) 是 \((\mathbb{Q}, +)\)、\((\mathbb{R}, +)\)、\((\mathbb{C}, +)\) 的子群。

更一般地，\(n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的子群。例如 \(2\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}\)。

特殊线性群

回顾：一般线性群 \(GL_n(\mathbb{R})\) 是所有 \(n \times n\) 可逆实矩阵（即行列式不为零的矩阵）在矩阵乘法下构成的群。

在其中挑出行列式恰好等于 1 的那些矩阵，构成特殊线性群：

\[SL_n(\mathbb{R}) = \{A \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1\}\]

用一步判定法验证 \(SL_n(\mathbb{R}) \leq GL_n(\mathbb{R})\)：

对任意 \(A, B \in SL_n(\mathbb{R})\)，需要证明 \(AB^{-1} \in SL_n(\mathbb{R})\)：

\[\det(AB^{-1}) = \det(A) \cdot \det(B^{-1}) = \det(A) \cdot \frac{1}{\det(B)} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1\]

因此 \(AB^{-1}\) 的行列式仍然是 1，属于 \(SL_n(\mathbb{R})\)。

以 \(n = 2\) 为例，\(SL_2(\mathbb{R})\) 包含所有满足 \(ad - bc = 1\) 的矩阵 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，比如：

\[\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

这个例子体现了子群验证的关键：行列式的乘法性质 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) 正好保证了封闭性。类似的思路在后续群同态中会再次出现。

平凡子群

对任意群 \(G\)，\(\{e\}\) 和 \(G\) 本身都是子群，称为平凡子群。其他子群称为非平凡子群。

循环子群

若 \(a \in G\)，定义 \(\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)，称为由 \(a\) 生成的循环子群。显然 \(\langle a \rangle \leq G\)。例如，在 \(\mathbb{Z}_6\) 中，\(\langle [2] \rangle = \{[0], [2], [4]\}\) 是一个子群。

陪集

背景：划分的需求

给定子群 \(H \leq G\)，我们想要把群 \(G\) 分割成若干等大的块。每个块称为一个陪集。

定义

设 \(H \leq G\)。

• 左陪集：\(aH = \{ah \mid h \in H\}\)，其中 \(a \in G\)
• 右陪集：\(Ha = \{ha \mid h \in H\}\)，其中 \(a \in G\)

\(a\) 称为该陪集的代表元。

左陪集 \(aH\) 就是把子群 \(H\) "翻译"一遍：\(H\) 中的每个元素 \(h\) 都变成 \(ah\)。这就像给 \(H\) 按上一个"前缀" \(a\)。

💡 想象 \(H\) 是一栋楼的所有房间，\(aH\) 就是把这些房间都编上门牌号 \(a\) 开头。

陪集的性质

定理：陪集与代表元

对 \(a, b \in G\)，以下等价：

1. \(aH = bH\)
2. \(a^{-1}b \in H\)
3. \(b \in aH\)

• (1) \(\Rightarrow\) (2)：若 \(aH = bH\)，则 \(b = be \in bH = aH\)，故存在 \(h \in H\) 使 \(b = ah\)，于是 \(a^{-1}b = h \in H\)。
• (2) \(\Rightarrow\) (3)：若 \(a^{-1}b = h \in H\)，则 \(b = ah \in aH\)。
• (3) \(\Rightarrow\) (1)：若 \(b = ah_0\)，则对任意 \(bh = ah_0h \in aH\)，有 \(bH \subseteq aH\)；反之 \(a = bh_0^{-1} \in bH\)，故 \(aH \subseteq bH\)。故相等。

例子：取 \(G = \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)（模 6 加法群），子群 \(H = \{0, 3\}\)。

先列出所有左陪集（这里运算是加法，所以 \(a + H\) 代替 \(aH\)）：

• \(0 + H = \{0, 3\}\)
• \(1 + H = \{1, 4\}\)
• \(2 + H = \{2, 5\}\)
• \(3 + H = \{3, 0\} = \{0, 3\}\)

注意 \(0 + H = 3 + H\)，同一个陪集可以有不同的代表元。用定理的三个条件来验证为什么 \(0 + H = 3 + H\)：

1. \(0 + H = 3 + H = \{0, 3\}\) ✓（两个陪集相等）
2. \(-0 + 3 = 3 \in H\) ✓（\(a^{-1}b \in H\)，加法群中即 \(b - a \in H\)）
3. \(3 \in 0 + H = \{0, 3\}\) ✓（\(b \in aH\)）

再看 \(1 + H \neq 2 + H\)，因为 \(-1 + 2 = 1 \notin H = \{0, 3\}\)，条件 (2) 不满足，所以它们是不同的陪集。

最终 \(\mathbb{Z}_6\) 被分成三块：\(\{0, 3\}\)、\(\{1, 4\}\)、\(\{2, 5\}\)，每块大小都是 \(|H| = 2\)。

如果把全集 \(G\) 看成一个圆形，那么其子集 \(H\) 就是圆上的一小块，而其陪集，就是将这一小块进行移动。

定理：陪集的大小

任意陪集 \(aH\) 与 \(H\) 等势（一样大），即 \(|aH| = |H|\)。

映射 \(\phi: H \to aH\)，\(h \mapsto ah\) 是双射：

• 单射：若 \(ah_1 = ah_2\)，则由消去律得 \(h_1 = h_2\)
• 满射：显然每个 \(ah\) 都是映射的像

这说明所有陪集都和 \(H\) 一样"大"！

拉格朗日定理

定理：拉格朗日定理

设 \(G\) 是有限群，\(H \leq G\)，则 \(|H|\) 整除 \(|G|\)，且 \(|G| = [G:H] \cdot |H|\)，其中 \([G:H]\) 是陪集个数（称为指数）。

\(G\) 可以分解为若干不相交的左陪集的并： \[G = a_1H \cup a_2H \cup \cdots \cup a_kH\]

这些陪集两两不相交（若相交则相等），每个陪集大小为 \(|H|\)，故： \[|G| = k \cdot |H| = [G:H] \cdot |H|\]

其中 \([G:H] = k\) 是陪集个数，称为指数。

想象一把梳子（子群 \(H\)），齿的位置是固定的。把梳子放在数轴上，梳齿刚好盖住一些位置；然后把梳子平移一格（乘上一个元素 \(a\)，得到陪集 \(aH\)），梳齿又盖住了新的一批位置；再滑一格，再盖住一批……最终整条数轴上的所有位置都被梳齿不重不漏地盖满。因为每次梳齿盖住的位置数（陪集大小）完全一样，所以总位置数（群的大小）一定是梳齿数（子群大小）的整数倍。

回到前面 \(\mathbb{Z}_6\) 的例子：子群 \(H = \{0, 3\}\) 就是一把两齿梳子，齿间距为 3。放在起点盖住 \(\{0, 3\}\)；右滑 1 格盖住 \(\{1, 4\}\)；再滑 1 格盖住 \(\{2, 5\}\)——三次平移恰好梳遍全部 6 个位置，\(6 = 3 \times 2\)。反过来，\(\mathbb{Z}_6\) 不可能有大小为 4 的子群——没有任何 4 齿的梳子能通过平移不重不漏地梳遍 6 个位置。

推论

1. 素数阶群：若 \(|G|\) 是素数，则 \(G\) 是循环群。由于素数除了 \(1\) 之外没有整数因子，所以只能是循环群了
2. 元素的阶：任意元素的阶整除群的阶（因为 \(\langle a \rangle \leq G\)）
3. 费马小定理：若 \(a \not\equiv 0 \pmod{p}\)，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)（作为 \(\mathbb{Z}_p^\times\) 的应用）

例子

例：\(\mathbb{Z}\) 的子群与指数

\(\mathbb{Z}\) 的子群形如 \(n\mathbb{Z}\)。对 \(n\mathbb{Z} \leq m\mathbb{Z}\)，有 \(n\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}\) 当且仅当 \(m \mid n\)。

指数 \([ \mathbb{Z} : n\mathbb{Z} ] = n\)，因为陪集为 \(0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, \ldots, (n-1) + n\mathbb{Z}\)。

例：\(S_3\) 的子群

\(S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}\) 有以下子群：

• \(\{e\}\)，阶 \(1\)
• \(\{e, (12)\}\)，阶 \(2\)
• \(\{e, (13)\}\)，阶 \(2\)
• \(\{e, (23)\}\)，阶 \(2\)
• \(\{e, (123), (132)\}\)，阶 \(3\)
• \(S_3\)，阶 \(6\)

\(6\) 的因子有 \(1, 2, 3, 6\)，恰好对应所有子群的阶！

小结

• 子群是群的非空子集，在原运算下也构成群
• 子群判定有一步法和两步法
• 陪集是将群按子群分割的产物，所有陪集大小相同
• 拉格朗日定理：子群阶数整除群阶数 \(|G| = [G:H] \cdot |H|\)
• 指数 \([G:H]\) 是陪集的个数

拉格朗日定理是有限群论的基础定理，它将陪伴我们后续学习循环群、群同态等内容。

概念关系图

下图展示了本篇关于子群、陪集与拉格朗日定理的核心概念及其相互关系：