等价关系与划分 - 抽象的分类法

等价关系是抽象代数中极为重要的概念，它为我们提供了一种"分类"的方法。通过等价关系，我们可以把一个集合划分成若干个互不相交的子集，每个子集称为一个等价类。这个思想在后续学习群论中的商群、环论中的商环时将发挥关键作用。

等价关系

定义

设 \(R\) 是集合 \(A\) 上的一个二元关系（即 \(R \subseteq A \times A\)）。如果 \(R\) 满足以下三个性质，则称 \(R\) 是 \(A\) 上的一个等价关系：

1. 自反性：对所有 \(a \in A\)，有 \(a \sim a\)
2. 对称性：若 \(a \sim b\)，则 \(b \sim a\)
3. 传递性：若 \(a \sim b\) 且 \(b \sim c\)，则 \(a \sim c\)

我们用符号 \(\sim\) 表示等价关系。等价关系可以理解为一种"相等"的标准。它告诉我们哪些元素在某种意义下是"相同的"。一个级的小朋友是一个集合，那么“同班同学”是一个等价关系。

• 小红 \(a\) 和自己是同班同学（自反性）
• 如果小红 \(a\) 和小明 \(b\) 是同班同学，那么小明 \(b\) 和小红 \(a\) 也是同班同学（对称性）
• 如果小红 \(a\) 和小明 \(b\) 是同班同学，且小明 \(b\) 和小华 \(c\) 是同班同学，那么小红 \(a\) 和小华 \(c\) 也是同班同学（传递性）

等价关系，可以把一个集合划分为一些子集。就像“同班同学”这个关系，把一个级的小朋友划分为不同的班。

例子

整数模 \(n\) 的同余

定义整数 \(a, b\) 的关系 \(a \sim b\) 当且仅当 \(n \mid (a - b)\)，记作 \(a \equiv b \pmod{n}\)。

验证：

• 自反性：\(a - a = 0 \cdot n\)，故 \(a \equiv a \pmod{n}\)
• 对称性：若 \(a \equiv b \pmod{n}\)，则 \(n \mid (a-b)\)，故 \(n \mid (b-a)\)，所以 \(b \equiv a \pmod{n}\)。整除表示不太形象，若 \(a \equiv b \pmod{n}\)，那么存在整数 \(k\) 使得 \(a - b = k \cdot n\)，所以 \(b - a = -k \cdot n\)，所以 \(b \equiv a \pmod{n}\)
• 传递性：若 \(a \equiv b \pmod{n}\) 且 \(b \equiv c \pmod{n}\)，则 \(n \mid (a-b)\) 且 \(n \mid (b-c)\)，故 \(n \mid (a-c)\)，所以 \(a \equiv c \pmod{n}\)

平面几何中的全等

在平面几何中，三角形的全等关系是一个等价关系：

• 自反性：每个三角形与自身全等
• 对称性：若 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)，则 \(\triangle DEF \cong \triangle ABC\)
• 传递性：若 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 且 \(\triangle DEF \cong \triangle GHI\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle GHI\)

集合的势（等势关系）

在所有集合构成的"类"上，定义关系：\(A \sim B\) 当且仅当 \(A\) 与 \(B\) 之间存在双射（即两个集合的元素可以一一对应）。这是一个等价关系。

验证：

• 自反性：\(A \to A\) 取恒等映射 \(\text{id}(x) = x\)，是双射
• 对称性：若 \(f: A \to B\) 是双射，则 \(f^{-1}: B \to A\) 也是双射
• 传递性：若 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\) 都是双射，则 \(g \circ f: A \to C\) 也是双射

例如 \(\{1, 2, 3\} \sim \{a, b, c\}\)（都有 3 个元素，可以建立一一对应），而 \(\{1, 2, 3\} \not\sim \{a, b\}\)（3 个元素和 2 个元素之间不存在双射）。

这个等价关系的每个等价类，就是"大小相同"的所有集合，而这个"大小"就是集合的基数（或势）。有限集合的基数就是元素个数；无限集合的基数则需要更细致的讨论——比如 \(\mathbb{N}\) 和 \(\mathbb{Z}\) 虽然"看起来"大小不同，但它们之间存在双射，所以基数相同。

非例子：实数的大小关系

实数的大小关系 "\(\leq\)" 不是等价关系。虽然它满足自反性（\(a \leq a\)）和传递性（若 \(a \leq b\) 且 \(b \leq c\)，则 \(a \leq c\)），但不满足对称性（若 \(a \leq b\)，一般 \(b \leq a\) 不成立）。

等价类

定义

设 \(\sim\) 是集合 \(A\) 上的等价关系。对 \(a \in A\)，定义等价类（equivalent class）为：

\[ [a] = \{x \in A \mid x \sim a\} \]

其中 \(a\) 称为该等价类的代表元（representative）。

重要性质

1. 非空性：每个等价类都非空，因为至少包含其代表元自身
2. 互不相交：若 \([a] \neq [b]\)，则 \([a] \cap [b] = \emptyset\)
3. 覆盖全域：\(\bigcup_{[a] \in A/\sim} [a] = A\)

这三个性质说明：等价关系将集合 \(A\) 划分成若干互不相交的等价类的并。回到上面“同班同学”这个等价关系，将一个年级的小朋友分为若干个班，每个班就是一个等价类。每个班至少都会有一个学生（非空性），一个学生不会同时在两个班里（互不相交），所有班组成一个年级（覆盖全域）。

定理：等价类与代表元

若 \(a \sim b\)，则 \([a] = [b]\)；若 \(a \nsim b\)，则 \([a] \cap [b] = \emptyset\)。

证明：

先证第一部分。设 \(a \sim b\)，要证 \([a] = [b]\)。

• 对任意 \(x \in [a]\)，有 \(x \sim a\)。由传递性及 \(a \sim b\)，得 \(x \sim b\)，故 \(x \in [b]\)。所以 \([a] \subseteq [b]\)。
• 同理可得 \([b] \subseteq [a]\)。
• 故 \([a] = [b]\)。

再证第二部分。设 \(a \nsim b\)，假设存在 \(x \in [a] \cap [b]\)，则 \(x \sim a\) 且 \(x \sim b\)。由对称性得 \(a \sim x\)，再由传递性得 \(a \sim b\)，与假设矛盾。故交集为空。

划分

定义

集合 \(A\) 的一个划分（partition）是指把 \(A\) 分成若干个非空子集的并集，这些子集两两不相交。每个子集称为一个块或部分。

定理：等价关系与划分的对应

集合 \(A\) 上的等价关系与 \(A\) 的划分是一一对应的。

证明：

我们已经知道，每个等价关系确定一组等价类，这些等价类两两不相交且并为 \(A\)，故是一个划分。

反过来，给定 \(A\) 的一个划分 \(\{A_i\}_{i \in I}\)，定义关系：\(a \sim b\) 当且仅当 \(a, b\) 属于同一个块 \(A_i\)。容易验证这是一个等价关系，且其等价类正是原来的各个块。

这个定理揭示了等价关系的本质：它本质上就是对集合的一种"分类"或"划分"。

商集

定义

设 \(\sim\) 是集合 \(A\) 上的等价关系。由所有等价类组成的集合称为商集，记作：

\[ A/\sim = \{[a] \mid a \in A\} \]

例子

整数模 \(n\) 的剩余类

在模 \(n\) 的同余关系下，整数集 \(\mathbb{Z}\) 被划分为 \(n\) 个等价类：

\[ [0], [1], [2], \ldots, [n-1] \]

这 \(n\) 个类称为模 \(n\) 的剩余类或同余类。商集记作 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 或 \(\mathbb{Z}_n\)。

例如，\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{[0], [1], [2]\}\)，其中：

• \([0] = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}\)
• \([1] = \{\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots\}\)
• \([2] = \{\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots\}\)

同余运算：来自等价关系的运算

等价关系的一个重要应用是可以在商集上定义运算。

定理：同余运算的良定义性

设 \(\sim\) 是集合 \(A\) 上的等价关系，\(\circ\) 是 \(A\) 上的二元运算。若 \(\sim\) 与 \(\circ\) 兼容（即 \(a_1 \sim a_2\) 且 \(b_1 \sim b_2\) 时，有 \(a_1 \circ b_1 \sim a_2 \circ b_2\)），则可以在商集 \(A/\sim\) 上定义运算：

\[ [a] \circ [b] = [a \circ b] \]

证明：

需要证明这个定义与代表元的选择无关。设 \([a_1] = [a_2]\) 且 \([b_1] = [b_2]\)，即 \(a_1 \sim a_2\) 且 \(b_1 \sim b_2\)。由兼容性，\(a_1 \circ b_1 \sim a_2 \circ b_2\)，故 \([a_1 \circ b_1] = [a_2 \circ b_2]\)。所以运算定义是良定义的。

例：模 \(n\) 加法

在 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 上定义加法：\([a] + [b] = [a+b]\)。

例如，在 \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 中：

• \([3] + [4] = [7] = [2]\)
• \([2] + [3] = [5] = [0]\)

💡 这里的等号 \(=\) 实际上表示等价类的相等。我们通常把 \([a]\) 简记为 \(a\)，但心里要清楚它代表的是一个等价类。

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 记号由来

\(n\mathbb{Z}\) 是什么？

\(n\mathbb{Z}\) 表示 \(n\) 的所有整数倍 构成的集合：

\[n\mathbb{Z} = \{\ldots, -2n, -n, 0, n, 2n, \ldots\}\]

比如 \(3\mathbb{Z} = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}\)。

这个记号很自然：把 \(\mathbb{Z}\) 里每个元素都乘以 \(n\)，就得到 \(n\mathbb{Z}\)。

斜杠 \(/\) 是什么意思？

斜杠表示"模掉"，即用等价关系做商集。

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的含义是：在整数集 \(\mathbb{Z}\) 上，把相差 \(n\) 的整数倍的元素看作"同一个"。

换句话说，\(a \sim b\) 当且仅当 \(a - b \in n\mathbb{Z}\)（即 \(a - b\) 是 \(n\) 的倍数），然后对这个等价关系取商集。

为什么这样写？

可以这样理解这个记号的逻辑：

\[\underbrace{\mathbb{Z}}_{\text{整数集}} \;/\; \underbrace{n\mathbb{Z}}_{\text{要忽略的差异}} = \text{商集}\]

斜杠就像除法一样——把 \(n\mathbb{Z}\) 这部分"除掉/消掉"。两个整数只要相差 \(n\mathbb{Z}\) 中的元素（即 \(n\) 的倍数），就被归入同一类。

一句话总结：\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) = 整数集 \(/\) 模掉 \(n\) 的倍数 = 只看除以 \(n\) 的余数。

小结

• 等价关系是满足自反性、对称性、传递性的二元关系
• 等价关系将集合划分为互不相交的等价类
• 商集是所有等价类组成的集合
• 当等价关系与运算兼容时，可以在商集上定义运算

等价关系与划分的思想将在后续学习中不断出现：群论中的陪集与商群、环论中的理想与商环，本质上都是这种"分类"思想的体现。

概念关系图

下图展示了本篇核心概念——等价关系、等价类、划分、商集——及其相互关系：