集合论 - 映射与运算

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在正式学习抽象代数之前，我们需要先掌握集合论的基础知识。集合论是现代数学的通用语言，而映射和运算是抽象代数的基本工具。有时候很难想象，虽然高中就开始接触集合，但是集合的抽象性与复杂性远超我的想象，不过本篇不会涉及很复杂的集合论甚至测度论，而只是介绍方便于后面讨论的集合论知识。

集合

定义

集合是数学中最基本的概念，它是一些确定事物的整体。这些"事物"称为集合的元素。

我们用大写字母 \(A, B, C, \ldots\) 表示集合，用小写字母 \(a, b, c, \ldots\) 表示元素。

  • \(a \in A\) 表示 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素
  • \(a \notin A\) 表示 \(a\) 不是集合 \(A\) 的元素

常用集合

符号 含义
\(\mathbb{N}\) 自然数集 \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) 或 \(\{1, 2, 3, \ldots\}\)
\(\mathbb{Z}\) 整数集 \(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)
\(\mathbb{Q}\) 有理数集
\(\mathbb{R}\) 实数集
\(\mathbb{C}\) 复数集
\(\emptyset\) 空集（不包含任何元素的集合）

集合的运算

设 \(A, B\) 为两个集合：

  • 并集：\(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\)
  • 交集：\(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\)
  • 差集：\(A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}\)
  • 笛卡尔积：\(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\)

映射

定义

映射是集合之间的一种对应关系。

设 \(f: A \to B\) 是一个映射，意味着：

  • 对每个 \(a \in A\)，都指定了唯一的 \(b \in B\) 与之对应
  • 记这个对应为 \(f(a) = b\)

我们称：

  • \(A\) 为映射的定义域（domain）
  • \(B\) 为映射的陪域（codomain）（值域是 \(f(A) = \{f(a) \mid a \in A\}\)）

注意，陪域是 \(B\)，也就是我们定义的一个集合，而值域是 \(f(A)\)，它是陪域的子集。

可以把映射想象成一台"机器"：输入一个 \(a\)，输出一个 \(b\)。重要的是，这台机器对每个输入都有唯一确定的输出。考虑函数 \(f(x) = x^2\)，这是一个从 \(\mathbb{R}\) 到 \(\mathbb{R}\) 的映射。

映射的类型

设 \(f: A \to B\)：

  • 单射（ injective）：若 \(f(a_1) = f(a_2)\) 则 \(a_1 = a_2\)。即不同的输入有不同的输出。
  • 满射（surjective）：对每个 \(b \in B\)，都存在 \(a \in A\) 使得 \(f(a) = b\)。即值域等于陪域。
  • 双射（bijective）：既是单射又是满射。即"一一对应"。

复合映射

设有映射 \(f: A \to B\) 和 \(g: B \to C\)，定义复合映射 \(g \circ f: A \to C\) 为：

\[ (g \circ f)(a) = g(f(a)) \]

逆映射

如果 \(f: A \to B\) 是双射，则可以定义逆映射 \(f^{-1}: B \to A\)，满足：

\[ f^{-1}(f(a)) = a, \quad f(f^{-1}(b)) = b \]

二元运算

定义

二元运算是集合上的一种"计算规则"。

设 \(\circ: A \times A \to A\) 是一个二元运算，对任意 \(a, b \in A\)，有唯一的 \(c \in A\) 与之对应，记为 \(a \circ b = c\)。

二元运算就是"把两个元素合并成一个元素"的规则。例如：

  • 数的加法：\(2 + 3 = 5\)
  • 矩阵的加法：\(A + B = C\)
  • 函数的复合：\((f \circ g)(x)\)

运算的性质

设 \(\circ\) 是集合 \(A\) 上的二元运算：

  1. 结合律：\((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)
  2. 交换律：\(a \circ b = b \circ a\)
  3. 单位元：存在 \(e \in A\)，使得 \(a \circ e = e \circ a = a\)
  4. 逆元：对每个 \(a\)，存在 \(a^{-1}\)，使得 \(a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\)
  5. 分配律：\(a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c)\)（涉及两个运算）

这些性质将在群、环等代数结构中频繁出现！这里表达的是，二元运算“可以有”这些性质，当然也可以没有，不同的数学结构，实际上也是通过二元运算的性质的具备与否来定义的。

小结

  • 集合是数学的基本对象
  • 映射是集合之间的对应关系，有单射、满射、双射三种类型
  • 二元运算是集合上的"计算规则"，具有结合律、交换律、单位元、逆元等性质

这些概念将贯穿整个抽象代数的学习，为理解群、环、域等代数结构打下基础。

概念关系图

下图展示了本篇三大核心概念——集合、映射、二元运算——及其内部结构和相互关系：