域扩张：走向伽罗瓦理论的桥梁

域扩张是伽罗瓦理论的基础。简单来说，域扩张就是在一个域中添加新元素，从而得到一个"更大"的域。理解域扩张的次数和代数性，是进入伽罗瓦理论的关键一步。

域扩张的定义

定义

设 \(K\) 和 \(F\) 是两个域，若 \(F \subseteq K\)（\(F\) 是 \(K\) 的子域），则称 \(K\) 是 \(F\) 的一个域扩张，记作 \(K/F\)。

此时，\(K\) 可以自然地看作 \(F\) 上的向量空间——\(K\) 中的元素是"向量"，\(F\) 中的元素是"标量"，向量加法就是 \(K\) 中的加法，标量乘法就是 \(F\) 中元素乘 \(K\) 中元素。

通俗解释

域扩张就是"扩大"数的范围——你觉得手头的数不够用了，就往里面"丢"一个新元素进去：

• 从有理数 \(\mathbb{Q}\) 扩张到 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\)：把 \(\sqrt{2}\) 丢进去
• 从实数 \(\mathbb{R}\) 扩张到复数 \(\mathbb{C}\)：把虚数单位 \(i\) 丢进去
• 从有理数 \(\mathbb{Q}\) 扩张到实数 \(\mathbb{R}\)：一次性把所有"洞"都填上

域扩张就像"打补丁"：原本的域可能缺少某些数（比如 \(\sqrt{2}\) 不在 \(\mathbb{Q}\) 中），我们把它"扔"进去，连带所有必须加进去的元素（为了保持域的运算封闭性），就得到了一个新域。

扩张的次数

定义

设 \(K/F\) 是域扩张。\(K\) 作为 \(F\) 上的向量空间的维数，称为扩张次数（degree of extension），记作 \([K : F]\)。

若 \([K : F]\) 有限，则称 \(K/F\) 是有限扩张；否则是无限扩张。

例子

例1：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)

\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\]

每个元素都可以唯一地写成 \(a \cdot 1 + b \cdot \sqrt{2}\) 的形式，所以 \(\{1, \sqrt{2}\}\) 就是这个向量空间的一组基。

\[[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2\]

例2：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}\)

这个域包含形如 \(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\) 的所有数（其中 \(\sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) 是乘法封闭性要求的）。

基为 \(\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}\)，故： \[[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 4\]

例3：\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)

\(\mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}\}\)，基为 \(\{1, i\}\)，故 \([\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2\)。

例4：\(\mathbb{R}/\mathbb{Q}\)

\([\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty\)——这是无限扩张。\(\mathbb{R}\) 作为 \(\mathbb{Q}\)-向量空间是无限维的（因为 \(\mathbb{R}\) 不可数，而 \(\mathbb{Q}\) 的有限维向量空间一定可数）。

次数的可乘性

定理：次数可乘公式（塔定理）

若 \(F \subseteq E \subseteq K\) 是域，且 \(E/F\) 和 \(K/E\) 都是有限扩张，则 \(K/F\) 也是有限扩张，并且： \[[K : F] = [K : E] \cdot [E : F]\]

证明：

设 \(\{e_1, \ldots, e_m\}\) 是 \(E\) 在 \(F\) 上的基（\(m = [E:F]\)），\(\{k_1, \ldots, k_n\}\) 是 \(K\) 在 \(E\) 上的基（\(n = [K:E]\)）。

我们证明 \(\{e_i k_j \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\}\) 是 \(K\) 在 \(F\) 上的基。

生成性：对任意 \(\alpha \in K\)，先用 \(K/E\) 的基展开：\(\alpha = \sum_j a_j k_j\)（\(a_j \in E\)）。再把每个 \(a_j\) 用 \(E/F\) 的基展开：\(a_j = \sum_i b_{ij} e_i\)（\(b_{ij} \in F\)）。于是 \(\alpha = \sum_{i,j} b_{ij} e_i k_j\)。

线性无关：若 \(\sum_{i,j} b_{ij} e_i k_j = 0\)（\(b_{ij} \in F\)），写成 \(\sum_j (\sum_i b_{ij} e_i) k_j = 0\)。由于 \(\{k_j\}\) 在 \(E\) 上线性无关，每个系数 \(\sum_i b_{ij} e_i = 0\)。再由 \(\{e_i\}\) 在 \(F\) 上线性无关，得 \(b_{ij} = 0\)。

故基有 \(mn\) 个元素，\([K:F] = mn = [K:E][E:F]\)。

通俗理解

塔定理说的是：域扩张的次数可以"逐层累乘"。

想象盖楼：从 \(F\) 到 \(E\) 盖了 \(m\) 层，从 \(E\) 到 \(K\) 又盖了 \(n\) 层。但这不是简单的 \(m + n\) 层——每一层 \(E \to K\) 的"楼层"在 \(F\) 看来都有 \(m\) 个"房间"，所以总共是 \(m \times n\) 个"房间"。

例子

\[\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\]

• \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2\)
• \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2\)（因为 \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，其最小多项式 \(x^2 - 3\) 在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 上不可约）
• \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 2 \times 2 = 4\) ✓

塔定理的应用

塔定理是证明"某些数不可能用尺规作图构造"的关键工具。

尺规作图每一步只能构造 \(2\) 次扩张（取交点或画圆），所以经过有限步后得到的扩张次数一定是 \(2\) 的幂。如果某个数的最小多项式次数不是 \(2\) 的幂，它就不能被尺规作图构造。

例如，倍立方体问题要求构造 \(\sqrt[3]{2}\)，但 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3\)（最小多项式 \(x^3 - 2\) 不可约）。\(3\) 不是 \(2\) 的幂，所以倍立方体问题不可解！

代数元与超越元

定义

设 \(K/F\) 是域扩张，\(\alpha \in K\)。

• 若存在非零多项式 \(f(x) \in F[x]\) 使得 \(f(\alpha) = 0\)，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元
• 否则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的超越元

若 \(K\) 中所有元素都是 \(F\) 上的代数元，则称 \(K/F\) 是代数扩张。

通俗解释

代数元是"乖"的——它满足某个多项式方程，可以用有限的代数关系描述。超越元是"野"的——没有任何有理系数多项式方程能"抓住"它。

例子

• \(\sqrt{2}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元：\(x^2 - 2 = 0\) ✓
• \(i\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元：\(x^2 + 1 = 0\) ✓
• \(\sqrt[3]{5}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元：\(x^3 - 5 = 0\) ✓
• \(\pi\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元（林德曼 1882 年证明）
• \(e\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元（埃尔米特 1873 年证明）

💡 有限扩张一定是代数扩张（但反过来不一定）。证明很简单：若 \([K:F] = n\)，则对任意 \(\alpha \in K\)，\(1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^n\) 这 \(n+1\) 个元素在 \(n\) 维空间中必然线性相关，于是存在非平凡的关系 \(c_0 + c_1\alpha + \cdots + c_n\alpha^n = 0\)，这就是 \(\alpha\) 满足的多项式方程。

单扩张与最小多项式

定义

若 \(K = F(\alpha)\)，即 \(K\) 由 \(F\) 添加一个元素 \(\alpha\) 生成（\(K\) 是包含 \(F\) 和 \(\alpha\) 的最小域），则称 \(K/F\) 是单扩张。

定义：最小多项式

设 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元。次数最低的使得 \(m(\alpha) = 0\) 的首一多项式 \(m(x) \in F[x]\)，称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的最小多项式，记作 \(m_\alpha(x)\) 或 \(\text{irr}(\alpha, F)\)。

最小多项式一定是不可约的（否则可以分解为更低次的因子，其中某个因子也以 \(\alpha\) 为根，矛盾）。

定理：单代数扩张的结构

若 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，最小多项式为 \(m_\alpha(x)\)，\(\deg m_\alpha = n\)，则：

\[F(\alpha) \cong F[x]/(m_\alpha(x))\]

并且 \([F(\alpha) : F] = n\)，基为 \(\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1}\}\)。

证明：

定义环同态 \(\phi: F[x] \to F(\alpha)\)，\(f(x) \mapsto f(\alpha)\)（"代入 \(\alpha\)"映射）。

核：\(\ker(\phi) = \{f(x) \in F[x] \mid f(\alpha) = 0\}\)。由于 \(F[x]\) 是主理想环，\(\ker(\phi) = (m_\alpha(x))\)（最小多项式生成了所有以 \(\alpha\) 为根的多项式构成的理想）。

像：\(\operatorname{Im}(\phi) = F[\alpha] = \{c_0 + c_1\alpha + \cdots + c_k\alpha^k \mid c_i \in F\}\)。由于 \(\alpha\) 是代数元，可以证明 \(F[\alpha] = F(\alpha)\)（\(F[\alpha]\) 本身已经是域）。

由第一同构定理：\(F[x]/(m_\alpha(x)) \cong F(\alpha)\)。

维数方面：\((m_\alpha(x))\) 中的元素至少 \(n\) 次，所以 \(F[x]/(m_\alpha(x))\) 中每个元素都可以用次数 \(< n\) 的多项式表示，基为 \(\{1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}\}\)，对应 \(F(\alpha)\) 中的基 \(\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1}\}\)。

通俗理解

这个定理是域扩张理论中最核心的结构定理。它说：

添加一个代数元 \(\alpha\)，等价于在多项式环里"把最小多项式当成零"。

在 \(F[x]/(m_\alpha(x))\) 中，变量 \(x\) 扮演了 \(\alpha\) 的角色。由于 \(m_\alpha(x) = 0\)（在商环中），\(x\) 的高次幂可以用低次幂表示——这就是为什么扩张是有限维的。

例子：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 的结构

\(\sqrt{2}\) 的最小多项式是 \(m(x) = x^2 - 2\)（不可约，因为 \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)）。

\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)\]

基为 \(\{1, \sqrt{2}\}\)，\(\sqrt{2}\) 满足 \((\sqrt{2})^2 = 2\)。

在商环 \(\mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)\) 中：\(x^2 = 2\)，所以： \[(3 + 2x)(1 - x) = 3 - 3x + 2x - 2x^2 = 3 - x - 4 = -1 - x\]

对应到 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中： \[(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 3 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 4 = -1 - \sqrt{2}\]

完全一致 ✓

例子：构造 \(\mathbb{F}_4\)（四元域）

取 \(\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}\)（二元域），多项式 \(x^2 + x + 1\) 在 \(\mathbb{F}_2\) 上不可约（代入 \(0\) 和 \(1\) 都不是根）。

\[\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[x]/(x^2 + x + 1) = \{0, 1, \alpha, 1+\alpha\}\]

其中 \(\alpha\) 满足 \(\alpha^2 + \alpha + 1 = 0\)，即 \(\alpha^2 = \alpha + 1\)（在 \(\mathbb{F}_2\) 中 \(-1 = 1\)）。

这个四元域的乘法表： | \(\times\) | \(0\) | \(1\) | \(\alpha\) | \(1+\alpha\) | |----------|-----|-----|----------|------------| | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(\alpha\) | \(1+\alpha\) | | \(\alpha\) | \(0\) | \(\alpha\) | \(1+\alpha\) | \(1\) | | \(1+\alpha\) | \(0\) | \(1+\alpha\) | \(1\) | \(\alpha\) |

💡 这展示了一个深刻的事实：有限域的构造完全依赖于不可约多项式。每个 \(p^n\) 阶有限域都可以通过 \(\mathbb{F}_p[x]/(f(x))\) 构造，其中 \(f(x)\) 是 \(n\) 次不可约多项式。

代数闭域与代数闭包

定义

若域 \(F\) 满足：\(F\) 上的每个非常数多项式都在 \(F\) 中有根，则称 \(F\) 是代数闭域。

等价地说：\(F\) 上的每个非常数多项式都可以在 \(F[x]\) 中分解为一次因式的乘积。

例子

• \(\mathbb{C}\) 是代数闭域（代数基本定理：\(\mathbb{C}\) 上每个 \(n\) 次多项式恰有 \(n\) 个根，计重数）
• \(\mathbb{R}\) 不是代数闭域（\(x^2 + 1 = 0\) 无实数根）
• \(\mathbb{Q}\) 不是代数闭域（\(x^2 - 2 = 0\) 无有理根）
• \(\mathbb{F}_p\) 不是代数闭域（\(x^p - x - 1 = 0\) 无 \(\mathbb{F}_p\) 中的根）

定义：代数闭包

\(F\) 的代数闭包 \(\bar{F}\) 是满足以下条件的域： 1. \(\bar{F}/F\) 是代数扩张 2. \(\bar{F}\) 是代数闭域

代数闭包可以理解为"把所有缺失的代数数全部补上"。

• \(\overline{\mathbb{Q}}\)（所有代数数构成的域）是 \(\mathbb{Q}\) 的代数闭包
• \(\mathbb{C}\) 是 \(\mathbb{R}\) 的代数闭包

💡 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 和 \(\mathbb{C}\) 完全不同！\(\overline{\mathbb{Q}}\) 是可数的（代数数可数），而 \(\mathbb{C}\) 不可数。\(\mathbb{C}\) 中的超越数（如 \(\pi, e\)）都不在 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 中。

分裂域

定义

设 \(f(x) \in F[x]\) 是非常数多项式。若存在扩张 \(E/F\) 使得： 1. \(f(x)\) 在 \(E[x]\) 中完全分解为一次因式的乘积：\(f(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\) 2. \(E = F(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\)（\(E\) 由 \(F\) 和所有根生成，不多不少）

则称 \(E\) 是 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的分裂域（splitting field）。

通俗解释

分裂域是"让多项式完全分解所需的最小域"。你需要把多项式的所有根都"收集"起来，但不多收——只要刚好够让多项式分裂成一次因式。

例子

例1：\(x^2 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域

根为 \(\pm\sqrt{2}\)。分裂域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)（\(-\sqrt{2}\) 已经在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中了）。

\[[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2\]

例2：\(x^2 + 1\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的分裂域

根为 \(\pm i\)。分裂域是 \(\mathbb{R}(i) = \mathbb{C}\)。

\[[\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2\]

例3：\(x^3 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域

三个根为 \(\sqrt[3]{2}\)、\(\omega\sqrt[3]{2}\)、\(\omega^2\sqrt[3]{2}\)，其中 \(\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\) 是三次本原单位根。

分裂域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\)。利用塔定理：

\[\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\]

• \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3\)（最小多项式 \(x^3 - 2\)）
• \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) : \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2\)（\(\omega\) 满足 \(x^2 + x + 1 = 0\)）

\[[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) : \mathbb{Q}] = 3 \times 2 = 6\]

💡 注意 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 本身不是分裂域！它只包含一个实数根 \(\sqrt[3]{2}\)，另外两个复数根 \(\omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 不在其中。必须添加 \(\omega\) 才能让多项式完全分裂。这个分裂域将在伽罗瓦理论中扮演关键角色——它的伽罗瓦群恰好是 \(S_3\)。

小结

• 域扩张 \(K/F\)：\(F \subseteq K\)，\(K\) 是 \(F\) 上的向量空间
• 扩张次数 \([K:F]\) 是 \(K\) 作为 \(F\)-向量空间的维数
• 塔定理：\([K:F] = [K:E] \cdot [E:F]\)，次数逐层相乘
• 代数元满足多项式方程；超越元不满足
• 单代数扩张：\(F(\alpha) \cong F[x]/(m_\alpha(x))\)，次数等于最小多项式的次数
• 分裂域是"让多项式完全分解"的最小扩张

域扩张是伽罗瓦理论的舞台。下一篇文章我们将看到：每个域扩张都对应一个伽罗瓦群，群的子群与中间域之间存在完美的对应关系——这就是伽罗瓦理论的核心！

概念关系图

下图展示了本篇核心概念——域扩张、扩张次数、代数元、单扩张、分裂域——及其相互关系：