环与域：两个运算的世界
群只有一个运算，而环和域则拥有两个运算——通常称为加法和乘法。这使得它们的结构更加丰富，也更接近我们熟悉的数系。环论是现代代数几何和数论的基础。
环的定义
定义
设 \(R\) 是一个集合，配备两个二元运算 \(+\)（加法）和 \(\times\)（乘法）。若满足：
- \((R, +)\) 是阿贝尔群（交换群）
- \((R, \times)\) 是半群（有结合律）
- 乘法对加法有分配律：
- \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)
- \((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)
则称 \((R, +, \times)\) 是一个环。
若环还满足： 4. 乘法交换律：\(ab = ba\)，则称交换环 5. 乘法单位元存在：存在 \(1 \in R\) 使 \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\)，则称有单位元的环
通俗解释
环就是"可以加减乘"的集合。你可以把环想象成： - 有 \(0\)（加法单位） - 有加法逆元（\(-a\)） - 有乘法运算 - 乘法对加法满足分配律
💡 环就像一个"小王国"：有完整的加法系统（城堡），但乘法系统可能有些"残废"——不一定有乘法逆元。
环的例子
例1：整数环 \(\mathbb{Z}\)
\((\mathbb{Z}, +, \times)\) 是有单位元的交换环。 - \((Z, +)\) 是阿贝尔群 - 乘法有结合律、交换律 - 乘法单位元是 \(1\) - 分配律成立
例2：模 \(n\) 剩余类环 \(\mathbb{Z}_n\)
\(\mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}\)，在加法和乘法下构成有单位元的交换环。
例如 \(\mathbb{Z}_6\) 中：\([2] \times [3] = [6] = [0]\)——这在整数环中不会发生！
例3：多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\)、\(\mathbb{R}[x]\)、\(\mathbb{C}[x]\)
所有多项式的集合，在多项式加法和乘法下构成有单位元的交换环。
例4：矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\)
\(n \times n\) 实矩阵的集合，在矩阵加法和乘法下构成有单位元的非交换环。
单位元是单位矩阵 \(I_n\)。
例5：偶数环 \(2\mathbb{Z}\)
偶整数集合 \(\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\)，在整数加法和乘法下构成交换环，没有单位元（因为 \(1\) 不是偶数）。
域的定义
定义
若环 \(F\) 还满足： - \(1 \neq 0\)（至少有两个不同元素） - 每个非零元素都有乘法逆元：\(a \in F, a \neq 0 \Rightarrow \exists a^{-1} \in F\)
则称 \(F\) 是一个域（field）。
通俗解释
域就是"可以加减乘除"的集合。除了加法逆元外，域中每个非零元素都有乘法逆元，所以可以做除法（除以非零数）。
💡 域就是"数的完整世界"：加减乘除随便用！
域的例子
| 域 | 描述 |
|---|---|
| \(\mathbb{Q}\) | 有理数域 |
| \(\mathbb{R}\) | 实数域 |
| \(\mathbb{C}\) | 复数域 |
| \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数） | 有限素域 |
重要性质：\(\mathbb{Z}_p\) 是域
定理：当 \(p\) 是素数时，\(\mathbb{Z}_p\) 是域。
证明：
只需证每个非零 \([a]\) 有逆元。\(a\) 与 \(p\) 互质（因为 \(p\) 是素数且 \(a \neq 0\)），由贝祖定理，存在 \(s, t\) 使 \(sa + tp = 1\)。取模 \(p\) 得 \(sa \equiv 1 \pmod{p}\)，即 \([s]\) 是 \([a]\) 的逆元。
\(\square\)
子环与子域
定义
- 子环：环 \(R\) 的子集 \(S\)，在原运算下也构成环
- 子域：域 \(F\) 的子集，在原运算下也构成域
子环判定
\(S \leq R\)（作为加法群）、\(1 \in S\)、且 \(S\) 对乘法封闭（\(ab \in S\)）。
例子
- \(\mathbb{Z} \leq \mathbb{Q} \leq \mathbb{R} \leq \mathbb{C}\)
- \(\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}_n\)（\(n \geq 2\)）
环的基本性质
定理：环的基本性质
设 \(R\) 是环，\(0\) 是加法单位元：
- \(0 \cdot a = a \cdot 0 = 0\)
- \((-a) \cdot b = -(ab)\)
- \((-a) \cdot (-b) = ab\)
- 若 \(1\) 存在，则 \(-1 = (-1)\) 且 \((-1) \cdot a = -a\)
证明：
- \(0 + 0 \cdot a = 0 \cdot a = (0+0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a\)，消去得 \(0 \cdot a = 0\)。同理 \(a \cdot 0 = 0\)。
2-4：类似可证。
\(\square\)
整环与除环
定义
- 整环：有单位元的交换环，且无零因子（若 \(ab = 0\)，则 \(a = 0\) 或 \(b = 0\)）
- 除环：每个非零元素都有乘法逆元的环（不必交换），即体
💡 关系：域 = 整环 + 每个非零元素可逆 = 除环 + 交换
环同态
定义
设 \(\phi: R \to S\) 是映射。若对任意 \(a, b \in R\)：
- \(\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)\)
- \(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\)
- （若环有单位元）\(\phi(1_R) = 1_S\)
则称 \(\phi\) 是环同态。
环同态保持加法结构（是群同态）和乘法结构（半群同态）。
例子
- 模 \(n\) 映射：\(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n\)，\(k \mapsto [k]\) 是环同态
- 求值映射：\(\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}\)，\(f(x) \mapsto f(2)\)
小结
- 环是带有加法和乘法两个运算的集合
- 环的加法是阿贝尔群，乘法是半群，分配律连接两者
- 域是每个非零元素都可逆的环（可做除法）
- 整数环 \(\mathbb{Z}\)、多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\)、矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\) 是重要例子
- \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数）是有限域
- 环同态保持环的结构
环论与群论平行发展。下一篇文章我们将学习理想——这是环中的"正规子群"，它决定了商环的结构。