环与域：两个运算的世界
群只有一个运算，而环和域则拥有两个运算——通常称为加法和乘法。这使得它们的结构更加丰富，也更接近我们熟悉的数系。环论是现代代数几何和数论的基础。
环的定义
定义
设 \(R\) 是一个集合，配备两个二元运算 \(+\)（加法）和 \(\times\)（乘法）。若满足：
- \((R, +)\) 是阿贝尔群（交换群）
- \((R, \times)\) 是半群（有结合律）
- 乘法对加法有分配律：
- \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)
- \((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)
则称 \((R, +, \times)\) 是一个环。
若环还满足： 4. 乘法交换律：\(ab = ba\)，则称交换环 5. 乘法单位元存在：存在 \(1 \in R\) 使 \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\)，则称有单位元的环
环的例子
整数环 \(\mathbb{Z}\)
\((\mathbb{Z}, +, \times)\) 是有单位元的交换环。
- \((Z, +)\) 是阿贝尔群
- 乘法有结合律、交换律
- 乘法单位元是 \(1\)
- 分配律成立
模 \(n\) 剩余类环 \(\mathbb{Z}_n\)
\(\mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}\)，在加法和乘法下构成有单位元的交换环。
例如 \(\mathbb{Z}_6\) 中：\([2] \times [3] = [6] = [0]\)——这在整数环中不会发生！
多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\)、\(\mathbb{R}[x]\)、\(\mathbb{C}[x]\)
所有多项式的集合，在多项式加法和乘法下构成有单位元的交换环。
矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\)
\(n \times n\) 实矩阵的集合，在矩阵加法和乘法下构成有单位元的非交换环。
单位元是单位矩阵 \(I_n\)。
偶数环 \(2\mathbb{Z}\)
偶整数集合 \(\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}\)，在整数加法和乘法下构成交换环，没有单位元（因为 \(1\) 不是偶数）。
域的定义
定义
若环 \(F\) 还满足：
- \(1 \neq 0\)（至少有两个不同元素）
- 每个非零元素都有乘法逆元：\(a \in F, a \neq 0 \Rightarrow \exists a^{-1} \in F\)
则称 \(F\) 是一个域（field）。
通俗解释
域就是"可以加减乘除"的集合。除了加法逆元外，域中每个非零元素都有乘法逆元，所以可以做除法（除以非零数）。
域的例子
| 域 | 描述 |
|---|---|
| \(\mathbb{Q}\) | 有理数域 |
| \(\mathbb{R}\) | 实数域 |
| \(\mathbb{C}\) | 复数域 |
| \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数） | 有限素域 |
重要性质：\(\mathbb{Z}_p\) 是域
定理：当 \(p\) 是素数时，\(\mathbb{Z}_p\) 是域。
子环与子域
定义
- 子环：环 \(R\) 的子集 \(S\)，在原运算下也构成环
- 子域：域 \(F\) 的子集，在原运算下也构成域
子环判定
\(S \leq R\)（作为加法群）、\(1 \in S\)、且 \(S\) 对乘法封闭（\(ab \in S\)）。
例子
- \(\mathbb{Z} \leq \mathbb{Q} \leq \mathbb{R} \leq \mathbb{C}\)
- \(\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}_n\)（\(n \geq 2\)）
环的基本性质
定理：环的基本性质
设 \(R\) 是环，\(0\) 是加法单位元：
- \(0 \cdot a = a \cdot 0 = 0\)
- \((-a) \cdot b = -(ab)\)
- \((-a) \cdot (-b) = ab\)
- 若 \(1\) 存在，则 \(-1 = (-1)\) 且 \((-1) \cdot a = -a\)
整环与除环
整环
定义：设 \(R\) 是有单位元的交换环。若 \(R\) 没有零因子，即：
\[ab = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ 或 } b = 0\]
则称 \(R\) 是整环（integral domain）。
整环的关键特性是消去律成立：若 \(a \neq 0\) 且 \(ab = ac\)，则 \(b = c\)。
整环的例子
| 整环 | 说明 |
|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | 整数环，最典型的整环 |
| \(\mathbb{Z}[x]\) | 整系数多项式环 |
| \(\mathbb{R}[x]\) | 实系数多项式环 |
| \(\mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}\) | 高斯整数环 |
| \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) | \(\{a + b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}\) |
除环
定义：设 \(D\) 是有单位元的环，\(1 \neq 0\)。若 \(D\) 中每个非零元素都有乘法逆元，即：
\[\forall a \in D, a \neq 0 \Rightarrow \exists a^{-1} \in D, \quad a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1\]
则称 \(D\) 是除环（division ring），也叫体（skew field）。
注意：除环不要求乘法交换。若除环的乘法还是交换的，那它就是域。
除环的例子
- \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\): 所有域都是（交换的）除环
- 四元数体 \(\mathbb{H}\): Hamilton 四元数 \(\{a + bi + cj + dk\}\)，非交换除环
四元数体 \(\mathbb{H}\) 满足 \(ij = k\) 但 \(ji = -k\)，因此乘法不交换。它是最经典的非交换除环，在物理学中描述三维旋转。
环同态
定义
设 \(\phi: R \to S\) 是映射。若对任意 \(a, b \in R\)：
- \(\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)\)
- \(\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)\)
- \(\phi(1_R) = 1_S\) （若环有单位元）
则称 \(\phi\) 是环同态。
环同态保持加法结构（是群同态）和乘法结构（半群同态）。
例子
- 模 \(n\) 映射：\(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n\)，\(k \mapsto [k]\) 是环同态
- 求值映射：\(\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}\)，\(f(x) \mapsto f(2)\)
小结
- 环是带有加法和乘法两个运算的集合
- 环的加法是阿贝尔群，乘法是半群，分配律连接两者
- 域是每个非零元素都可逆的环（可做除法）
- 整数环 \(\mathbb{Z}\)、多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\)、矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\) 是重要例子
- \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数）是有限域
- 环同态保持环的结构
群、环、域对比
| 群 | 环 | 域 | |
|---|---|---|---|
| 运算数 | 1 个 | 2 个（加法 + 乘法） | 2 个（加法 + 乘法） |
| 加法结构 | — | 阿贝尔群 | 阿贝尔群 |
| 乘法结构 | — | 半群（结合律） | 阿贝尔群（去掉 \(0\)） |
| 分配律 | — | ✓ | ✓ |
| 乘法交换 | — | 不必（交换环才有） | ✓ |
| 乘法单位元 | — | 不必（有单位元环才有） | ✓（存在 \(1 \neq 0\)） |
| 乘法逆元 | — | 不必 | ✓（非零元素均可逆） |
| 零因子 | — | 可能存在 | 不存在 |
| 可做除法 | — | ✗ | ✓ |
| 典型例子 | \(S_n\), \(\mathbb{Z}_n\), \(D_n\) | \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}[x]\), \(M_n(\mathbb{R})\) | \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{Z}_p\) |
群，环，域实际上是层层递进的数学结构，群只有一个运算（加法），只要求有结合律，单位元，逆元即可；而环则是两个运算，对加法结构要求交换律，而对乘法结要求结合律，分配律的作用在于两种运算的结合，因为这些结构本质都是“封闭集合”（不是有界集合），要求元素无论如何运算都得在集合里，所以需要保证这些运算都能对元素进行各种组合操作。而域更进一步，要求非零元素的乘法有逆元。
通俗上理解，群是有理数加法，环则加上了乘法，而域则加上了除法。
再进一步，群，环，域之间也有一些过渡结构，比如群加上加法交换律，就是阿贝尔群，这个也是环的子集，而环加上消去律就是整环，加上非零逆元就是除环，这些都是域的子集。
概念关系图
下图展示了本篇的核心概念及其相互关系：