导数与微分
导数
定义
设函数 \(y = f(x)\) 是在区间 \(\mathcal{X}\) 内定义着的，从自变量的某一数值 \(x = x_0\) 出发，给它加一增量 \(\Delta x \neq 0\) 使不越出区间 \(\mathcal{X}\)，于是新值 \(x_0 + \Delta x\) 亦属于这区间，那时函数值 \(y = f(x_0)\) 将换成新值 \(y + \Delta y = f(x_0 + \Delta x)\)，即获得增量
\[ \Delta y = \Delta f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]
若函数的增量 \(\Delta y\) 与引起这增量的自变量的增量 \(\Delta x\) 的比式当 \(\Delta x\) 趋于 \(0\) 时的极限存在，即
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]
存在，这极限就称为函数 \(y = f(x)\) 当 \(x = x_0\) 时关于自变量 \(x\) 的导数。
反函数的导数
设函数 \(f(x)\) 满足反函数存在的条件（也就是连续单调），在点 \(x_0\) 有异于零的有限导数 \(f'(x_0)\)，于是在对应点 \(y_0 = f(x_0)\) 反函数 \(g(y)\) 的导数 \(g'(y_0)\) 也存在，且等于 \(1/f'(x_0)\)。
基本导数公式
下面列出常用的基本导数公式
\[ \begin{aligned} y = c &\ \ \ y' = 0 \\ y = x &\ \ \ y' = 1 \\ y = x^\mu &\ \ \ y' = \mu x^{\mu - 1} \\ y = a^x &\ \ \ y' = a^x \ln a \\ y = e^x &\ \ \ y' = e^x \\ y = \log_a x &\ \ \ y' = \frac{\log_a e}{x} \\ y = \ln x &\ \ \ y' = \frac{1}{x} \\ y = \sin x &\ \ \ y' = \cos x \\ y = \cos x &\ \ \ y' = -\sin x \\ y = \tan x &\ \ \ y' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \\ y = \cot x &\ \ \ y' = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} \\ y = \arcsin x &\ \ \ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ y = \arccos x &\ \ \ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ y = \arctan x &\ \ \ y' = \frac{1}{1 + x^2} \\ y = \text{arccot} x &\ \ \ y' = -\frac{1}{1 + x^2} \\ \end{aligned} \]
求导法则
设函数 \(u = \varphi(x)\) 与 \(v = \psi(x)\) 在定点 \(x\) 处有导数 \(u'\) 与 \(v'\)，令 \(c\) 为常数，则
\[ y' = (c \cdot u)' = c \cdot u' \\ y' = (u \pm v)' = u' \pm v' \\ y' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \\ y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]
复合函数的导数
设函数 \(u = \varphi(x)\) 在某一点 \(x_0\) 有导数 \(u'_x = \varphi'(x_0)\)，函数 \(y = f(u)\) 在对应点 \(u_0 = \varphi(x_0)\) 也有导数 \(y'_u = f'(u)\)。于是复合函数 \(y = f(\varphi(x))\) 在上述点 \(x_0\) 处亦有导数，它等于 \(f(u)\) 的导数与 \(\varphi(x)\) 的导数的乘积：
\[ [f(\varphi(x_0))]' = f'_u(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0) \]
或更简短地
\[ y'_x = y'_u \cdot u'_x \]
微分
定义
设函数 \(y = f(x)\) 是在某一区间 \(\mathcal{X}\) 内定义，并且在所考察的点 \(x_0\) 处是连续的，于是对应于变元的增量 \(\Delta x\)，函数的增量
\[ \Delta y = \Delta f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]
就随着 \(\Delta x\) 一同成为无穷小。对于 \(\Delta y\)，如果存在一个关于 \(\Delta x\) 的线性无穷小 \(A \cdot \Delta x\) （\(A\) 为常数），使它与 \(\Delta y\) 的差是较 \(\Delta x\) 的更高阶无穷小，即
\[ \Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) \]
成立，则称函数 \(y = f(x)\) 在 \(x = x_0\) 时可微，表达式 \(A \cdot \Delta x\) 就称为函数的微分，可以将其当做 \(\Delta y\) 的主部。记为 \(dy\) 或者 \(df(x_0)\)。
可微与导数的关系
要使得函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微，充要条件是它在这点处有有限的导数 \(y' = f'(x_0)\) 存在，当这条件满足时，就有
\[ \Delta y = y'_x \Delta x + o(\Delta x) \]
基本微分公式
\[ \begin{aligned} y = c &\ \ \ dy = 0 \\ y = x^\mu &\ \ \ dy = \mu x^{\mu - 1} \cdot dx \\ y = a^x &\ \ \ dy = a^x \ln a \cdot dx \\ y = e^x &\ \ \ dy = e^x \cdot dx \\ y = \log_a x &\ \ \ dy = \frac{\log_a e \cdot dx}{x} \\ y = \ln x &\ \ \ dy = \frac{dx}{x} \\ y = \sin x &\ \ \ dy = \cos x \cdot dx \\ y = \cos x &\ \ \ dy = -\sin x \cdot dx \\ y = \tan x &\ \ \ dy = \sec^2 x \cdot dx = \frac{dx}{\cos^2 x} \\ y = \cot x &\ \ \ dy = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} \\ y = \arcsin x &\ \ \ dy = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \\ y = \arccos x &\ \ \ dy = -\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \\ y = \arctan x &\ \ \ dy = \frac{dx}{1 + x^2} \\ y = \text{arccot} x &\ \ \ dy = -\frac{dx}{1 + x^2} \\ \end{aligned} \]
微分法则
\[ d(cu) = c \cdot du \\ d(u \pm v) = du \pm dv \\ d(uv) = u \cdot dv + v \cdot du \\ d(\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2} \]
一阶微分形式不变性
假设 \(y = f(x)\) 及 \(x = \varphi(t)\) 是这样的两个函数，从它们组成复合函数：\(y = f(\varphi(x))\)。若导数 \(y'_x\) 及 \(x'_t\) 存在，则依复合求导法则，存在导数
\[ y'_t = y'_x \cdot x'_t \]
若把 \(x\) 当做自变量，则微分 \(dy\) 可以表达为 \(dy = y'_x \cdot dx\)，改用 \(t\) 作自变量，就有另一种微分的形式，即
\[ dy = y'_t \cdot dt \]
联立两式，有
\[ dy = (y'_x \cdot x'_t) \cdot dt = y'_x (x'_t \cdot dt) = y'_x \cdot dx \]
这就回到微分的原来形式。这种微分的形式在原来的自变量换成新的自变量以后任然可以保持着，这称为微分的形式不变性。
在参变量方程里的应用，有参变量方程 \(x = \varphi(t), y = \psi(t)\)，假定两方程都存在导数，有
\[ y'_x = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t \cdot dt}{x'_t \cdot dt} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]
这样就不必重新建立 \(y\) 对于 \(x\) 的直接关系。
基本定理
费马定理
设函数 \(f(x)\) 是在某一区间 \(\mathcal{X}\) 内定义的，并且在这区间的内点 \(c\) 取最大（最小）值，若在这点存在着有限导数 \(f'(c)\)，则必须 \(f'(c) = 0\)。
达布定理
若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 内有有限导数，则函数 \(f'(x)\) 必至少有一次取得介于 \(f'(a)\) 及 \(f'(b)\) 之间的每一个值。
罗尔定理
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 内定义着而且是连续的，并且至少在开区间 \((a, b)\) 内，存在着有限导数 \(f'(x)\)，另外有 \(f(a) = f(b)\)，那么在 \(a\) 与 \(b\) 之间必能求出一点 \(c\)，使 \(f'(c) = 0\)。
拉格朗日定理（中值定理）
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 内定义着而且是连续的，并且至少在开区间 \((a, b)\) 内，存在着有限导数 \(f'(x)\)，那么在 \(a\) 与 \(b\) 之间必能求出一点 \(c\)，使
\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \]
柯西定理（广义中值定理）
设函数 \(f(x)\) 及 \(g(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 内连续，至少在开区间 \((a, b)\) 内有有限导数 \(f'(x)\) 及 \(g'(x)\)，在区间 \((a, b)\) 内 \(g'(x) \neq 0\)，那么在 \(a\) 与 \(b\) 之间必能求出一点 \(c\)，使
\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]
此公式称为欧拉公式。
泰勒公式
对于任意函数 \(f(x)\)，假定它在某一点 \(x_0\) 处存在着直至 \(n\) 阶为止的各阶导数。准确些说，函数在含有点 \(x_0\) 的某一区间 \([a, b]\) 内是有定义的，并且有直至 \((n - 1)\) 阶为止的各阶导数：
\[ f'(x), f''(x), \cdots, f^{(n - 1)}(x) \]
除此之外，在这点 \(x_0\) 处还有 \(n\) 阶导数 \(f^{(n)}(x_0)\)，那么对于函数 \(f(x)\) 可以作出多项式
\[ \begin{aligned} p(x) &= f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n \\ &= f(x_0) + \sum_{i = 1}^n \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n \end{aligned} \]
函数动态性研究
单调性
函数为常数
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，并且在其内部有有限导数 \(f'(x)\)，要使 \(f(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 内是常数，必要而且充分的条件是对于所有的 \(x \in \mathcal{X}\)，有 \(f'(x) = 0\)。
推论 若量函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，又在其内部有有限导数 \(f'(x)\) 与 \(g'(x)\)，并且 \(f'(x) = g'(x)\)，则在全区间 \(\mathcal{X}\) 内，两个函数仅差一个常数，也就是 \(f(x) = g(x) + C\)。
函数为增减函数
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，并且在其内部有有限导数 \(f'(x)\)，要使 \(f(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 内单调增大（减小），必要而且充分的条件是对于所有的 \(x \in \mathcal{X}\)，有 \(f'(x) \geq 0 \ \ (\leq 0)\)。
极值
函数 \(f(x_0)\) 在点 \(x_0\) 处有极大值（或极小值）是指，这点有一个邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 完全包含于函数 \(f(x)\) 的定义域内，并且此时对于邻域内的所有 \(x\)，有 \(f(x) \leq f(x_0)\) 或 \(f(x) \geq f(x_0)\)。极大值或极小值统称为极值。
必要条件
极值只能存在于导数为零的点。
充分条件
考察点左右导数符号改变。如果导数从正变为负，则考察点为极大值，因为函数先增后减。如果导数从负变正，则考察点为极小值，因为函数先减后增。
也可以通过看高阶导数来考察。如果一阶导数 \(f'(x_0) = 0\)，并且二阶导数 \(f''(x_0) > 0\)，则说明其一阶导数递增，而 \(f'(x_0) = 0\) ，则有 \(f'\) 是从小于零变到大于零的，意味着 \(f\) 先减后增，这就说明在 \(x_0\) 处为极小值。类似地，如果 \(f''(x_0) < 0\)，则在 \(x_0\) 处为极大值。
最值
最值可以通过比较考察区间内的所有极值点以及区间边界点来得出。
凹凸函数
在区间 \(\mathcal{X}\) 上有定义且连续的函数 \(f(x)\) 叫做凸函数，如果对 \(\mathcal{X}\) 中的任何两点 \(x_1, x_2\)，有不等式
\[ f(q_1 x_1 + q_2 x_2) \leq q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) \]
其中 \(q_1 + q_2 = 1\)。反之则为凹函数。
凸函数实际上意味着，曲线上的点都在其弦的下方，令曲线上有两点 \(A_1(x_1, y_1)\) 与 \(A_2(x_2, y_2)\)，过这两点的直线为
\[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y - y_2}{x - x_2} \]
从中解出 \(y\) 得到
\[ y = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}y_2 \]
令 \(q_1, q_2\) 为上式的系数，即 \(q_1 = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}, q_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)则得到凸函数定义的不等式的右端部分。而从 \(q_1\) 可以解得 \(x = q_1 x_1 + q_2 x_2\)，由此得到凸函数定义的不等式左端部分。
一些凸函数的命题
- 凸函数与正常数相乘，仍为凸函数。
- 凸函数之和为凸函数。
- 常增的凸函数复合函数为凸函数。
- 在区间 \(\mathcal{X}\) 内的凸函数 \(f(x)\)，如果不是常数，则不可能在区间内部达到最大值。
凸性判断条件
定理一 假定函数 \(f(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，并且在 \(\mathcal{X}\) 内有有限导数 \(f'(x)\)，要使 \(f(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 内是凸函数，必要而且充分的条件是，它的导数 \(f'(x)\) 是常增的。
定理二 假定函数 \(f(x)\) 与其导数 \(f'(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，并且在 \(\mathcal{X}\) 内有有限二阶导数 \(f''(x)\)，要使 \(f(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 内是凸函数，必要而且充分的条件是，它的二阶导数 \(f''(x) \geq 0\)。
定理三 假定函数 \(f(x)\) 在区间 \(\mathcal{X}\) 内有定义而且连续，并且在 \(\mathcal{X}\) 内有有限导数 \(f'(x)\)，要使 \(f(x)\) 在 \(\mathcal{X}\) 内是凸函数，必要而且充分的条件是，它图像上一切点落在它的任意切线上方（或在切线上）。
拐点
函数凸部分与凹部分的分界点。必要条件为二阶导数为 0。