Null Space

with ∞ dimension and no inverse...

Footprint: Macau

昨天去了澳门一趟,本意是想在网购苹果之前看看澳门那些实体店的价格,但是不料澳门令我失望了。其实本身我就不是抱有太大的希望,于是就当作是去澳门走走而已。

印象之中我只去过两次澳门,一次是很久以前和爸妈一起去的,另一次是和C.C.去的,距今也有一年有多了。这次去澳门没有感觉到太大的变化,人依旧很多,街道依然漂亮,但感情却有点不一样。

回程的时候,车在高速公路上飞驰,迎面而来的是一束束冲破黑暗的车灯,有节奏地一遍又一遍地扫描着我。我喜欢看着车前方那些被照亮的飞速后退的公路纹理,在车窗密闭的情况下,它们是我唯一感受到速度的证据。车中大家都熟睡在一天奔走的疲惫之中,在小憩之后我却异常精神,但是那纷乱的车灯不停地闯入我脑中,以致我一直思想混乱,耳边的旋律也没有能帮助我平静下来。我写这边文章很大程度上是因为那时候混乱的思考,再有就是为弥补以后可能失去的记忆。

迎面的车灯越发光亮,耳边好像还伴随着几声鸟鸣,天还带有点暗暗的黑,但是我知道我得在不情愿之中挪动身体下床了。昨晚并没有很早能睡着,差不多一点半了,我还起来听了下法语帮助睡眠。今早八点出车,也不算是太早吧,但是要我六点多起床,确实有点无奈。早上的车程并没有令我觉得太漫长,在灿烂的阳光下,我浑身有一种微微刺热的感觉。这个刺热,并不是酷热,而是感觉像衣服的纤维丝都挺立了刺向我的皮肉。

在横琴过关,人很少,并没有延续之前在拱北的惨痛经历。

到达英皇的时候,父母已经觉得是时候吃点东西了。英皇三楼有个小餐厅,估计是给那些豪赌的人充饥休息的,我们去那里叫了几个面,味道却还不错。这个味道令我回想起多年以前华侨大厦的炸酱拉面,我妈说那估计是以前没什么好东西吃觉得好吃,但是这两者确实给我几乎一样的感觉。

这个炸酱拉面的面很细,并且有足够的嚼劲,但又没有那种特别爽滑的感觉,而是很实在的软并且韧。而炸酱肉末呢,它并没有特意去控制辣的程度,可以说比平常那些照顾广东人的餐厅的辣菜要辣的,但是却不是呛到喉咙的辣,也不是包裹舌尖的麻,而是一种肆意放射的刺激的感觉。估计正是由于这样的感觉,我瞬间就将其吃完了,每一口所放射出来的刺激催促着我的手赶紧夹起另外的一缕面,然后迅速地往口里送。

下了英皇,我们便往水坑尾街的方向走去。这条街可以说很古老了,街道很窄,两边的楼房中等高度,也遮了大半个天空了,抬头望去,感觉古老的住房微微欲坠。上一次和C.C.就在礼记雪糕吃了两个雪球,但是那次走这条街的时候却没怎么留意建筑,路景,这次慢慢走却拍到了一些街景。

这是从水坑尾街的一条天桥放眼望去的一支巷,那紧致古老的住房给我一种忧伤的感觉。这令我想起了佛山的旧区,想起了我以前光顾的理发店,还有以前放学走过的那矮矮的梯级,还有宁静围墙外面刺耳的车鸣…那简朴古老的灰色,那令人窒息的灰色,那重重简陋的墙砖里却还包裹着生机,或是闲适悠悠自得其乐的老公公老太太,或是烦躁苦闷无所适从的中年夫妻,又或是前途黯淡生活拮据的年轻租客…

有时候我又很喜欢这种斜跨半空天桥。它不像是广州大学城那些规规整整的人行天桥,而是更令人感觉到它的灵魂,它存在的意义。这样说可能有点夸张,但在纷乱的旧区之中穿插着这些方便人们穿梭的小飞龙,确实令人感到一种另类的生气,就像它们的灵魂使之获得了肉身,在人们不注意的时候悄悄换了一下姿势,改变了一下方向,又或许逃到了另外的一个地方去。这就是一种不对称的美感,你从不同的角度会看到其不同的形态,以至于你觉得它们确实活起来了。当你从这一边跑道另一边去观看它时可能会所发出惊叹:“啊!你怎么方向不同了?!”,它或许正用那独特的跟之前不一样的姿态得意地告诉你:“因为我活动活动了一下…”

紧接着我们穿过一些小路,向着大三巴的方向走去。大三巴是我最初对澳门的印象,我曾一度以为澳门的出名其实就仅仅只有一个大三巴。当然,那种认识早已无影无踪,但是不知道是不是澳门真的太小了,我每次去澳门总会有意无意地经过这个地方,当然,或许是因为这里商铺够多,美食够多。在两边店铺试食的徘徊之中,我看到了一个土耳其雪糕小店。

其实本来也没想过要试的,但是因为试食了一些饼干还有肉干,嘴巴也有点想冷却一下,于是就忍不住想吃了。当然我不知道这个小伙子是不是真的从土耳其来的,但是看到他那么过瘾,我拍了他一下。在把雪糕递过来的时候,他却不是规规矩矩地,而是耍了一下手法,把雪糕藏在了手的背后。当然,这种把戏在我看来有点做作,但是之后看到一个小女孩真信雪糕不见了,还在地上找,我却忍不住笑了。看到小女孩无助的表情,他才慢慢地把手背后的雪糕“转”回来,然后就是一阵围观着善意的笑声了。

这种雪糕跟我们平常吃的有所不同,跟麦当劳的来对比,那就是厚实很多,粘稠很多,并且没有那么香。吃得出来是新鲜的,并且吃完感觉很实在,就是估计周围人太多,我怕雪糕暴露太久不好,于是加快速度地将其了结。

之后出来又看到了这种深深的街景,不禁深吸一口气,将其拍了下来。其实很多人都喜欢这种街景,除了我上面所说的回忆以外,估计还欣赏其层次感。这种层次感不是错落有致的建筑所带来的,而是渐渐淡却的光的威力。

在大三巴附近闲逛完毕以后,时间也差不多四点半了,我们转回到水坑尾街,打算试试那据说很出名的“皇冠小馆”。其位置不难找,之前在网上的描述是百脑汇附近十来米的地方。说起这个百脑汇,我本身也是打算来这里看看苹果的,以为它是一个比较大的电器商城,跟广州的百脑汇相距不远,但实际上,等我们几番周折找到这个百脑汇的时候才发现,它已经不存在了。这确实给我有一种心凉的感觉,这话还是由一个在废弃电梯旁的保安跟我说的。虽然那地方不大,但是废旧的建筑加上里面废旧的柜台,令我感觉到时光的威力。走在澳门已经有一种置身与旧瓦之间的感觉了,不知道再过一千年,这又会是何种光景。

从天桥过去的时候就看到这个“皇冠小馆”了,由于不是当地吃饭时间,人也不算很多。但实际上天色也已渐暗,街道两旁已有依稀的店铺亮灯,夜色也正缓缓降临。

根据网上描述,这里最出名的要算是虾子捞面,饺子云吞,以及海蟹粥了。感觉分量也差不多了,我们各叫了一份。

这个虾子捞面出乎意料的普通,也出乎意料地香。可能有一些不喜欢虾子的朋友们会觉得有点腥,但是我感觉是很香的。虽然虾子没有蟹子那样爽脆的口感,但是在微微烘烫之后拌面来吃,也确实感觉到丝丝的爽脆。当然虾子那么小,这估计也只是通感而已。至于那些面,吃起来不乏弹性,但是却没有佛山那些云吞面以及竹升面店那么爽,感觉较为真实一点。

至于这个云吞水饺呢,一碗里面有三个水饺和四个云吞,个人感觉佛山的水饺云吞是无法跟这个比的。其水饺大得足足撑满了一个瓷羹,里面有猪肉,木耳,还有一只新鲜的大虾,吃起来的时候大虾提供爽脆,猪肉提供美味,木耳提供丝丝不绝之感。而且水饺的皮比较结实,在吃的时候并不用担心饺子会散开,配合那淡淡的汤来吃,确实是一大享受。

最后就是着看上去比较大锅的海蟹粥了,大概一人两碗多一点左右。里面有一只大海蟹,感觉是真材实料的,因为蟹肉很足,我吃的几条蟹腿都充满了鼓鼓的肉,并且粥弥漫着清新的蟹味。这里所说的清新确实一点都不夸张,去试一下就知道了。

吃完以后将近五点有多,爸妈买完相机以后,我们打算去英皇坐车回去莲花口岸,从水坑尾街回去莲花口岸估计不需要走太久,于是我们以小步疾走的方式往英皇方向走去。尽管如此,我还是抓住了这个三叉路口。

其实我稍微回想了一下,发现自己从没有机会从这种角度来看三叉路口。看着眼前两边的车辆汇聚以后从脚下驶过,很有一种奇妙的感觉,却又难以描述。中间的大楼将两边的画面截然分开,并将两边的交流完全切断。左边的车辆并不知道右边的路况如何,而右边的车辆又不清楚左边是否通畅,就如同看电影,戏剧一般,当分镜向你讲述两边的故事时,你或许发现某一边在做一些神奇的事情,另一边却毫不知晓。就这样在你同时看来的两个世界,各自进行着自己的活动,却又各自跟随着时间之箭而飞逝,最后却也是汇合于一体,而不知过往的区别。

当我们去到英皇的时候,却被告知最后一趟去莲花口岸的车已经驶离了,留给我们的最后一个选择就是taxi了。最后当然还是以微小的时间优势及时过了关,这无疑还是幸运的,因为我们没有料到那个时间截taxi是如此地困难。

当我上车坐下来以后才发现,我已经挺累的了。最后迎接我的就是,那些有节奏的来车射灯,以及Celine Dion跳动的歌声了…

Book Review: 上帝掷骰子吗?—量子物理史话

花了近两周的时间读完了《上帝掷骰子吗?—量子物理史话》,大概每天读那么一章吧。其实这样的速度主要是因为书中有很多语言上的装饰,很多内容可能只需要一两句话就可描述清楚,但作者非得要花上一段来渲染一下场景,这个我不太喜欢。但是既然这是一本通俗读本,科普著作,这样的描写确实很符合这本书的身份的。

本书确实是一本好书,因为它以通俗易懂的方式介绍了量子物理的发展历程,我读书的时候一般比较喜欢角色代入,所以在看此书的时候异常激动,曾多次将自己代入那些量子大将上面,感觉自己就完全经历了这样的一个过程,波澜壮阔,沧海桑田。本书除了较为全面地介绍了量子物理的发展史以外,还以通俗的方式讲述了量子物理的一些重要概念。正如它纠正了我一直以来的一些错误理解,也引发了我很多的思考。

关于多世界理论

之前接触薛定谔的猫仅仅是从高中语文的一篇阅读,当然具体内容就忘了。我一直认为“既生又死”的含义是,只是在我们没有观测的时候不知道那只猫的死活,但是它本身可能已经死了,可能还活着,两种状态只择其一。但是现在才知道,其实根据哥本哈根的解释,在没有观测之前,猫其实是可以由一个态叠加的波函数来表示,这样说来,那只猫其实是两种态,即生和死两种态的叠加,在我们观测的一瞬间,波函数发生了坍缩,等概率地出现猫生,或者猫死的状态。在看书的过程中,其实我对这种解释的也并不是太信服,如书中所说,它引入了观测者的概念,并且它无法解释坍缩这一个过程。

坍缩这个过程它没法解释也没什么好说的,但是引入了观察者的概念,那问题就大了。也就是说,如果我闭上眼睛,那么我周围的事物都在以各自的波函数进行演变,各种状态都叠加在一起了,混乱不已,但是我一睁开眼睛,充当观测者了,这些混乱不已的波函数瞬间就坍缩了,一切的事物都是那么的正常。这是一种比较野蛮的,而且扯入了唯心的解释。

如果从多重世界(MWI)来看呢?世界无时不刻都在“分裂”,我们所处的世界只是无限多种可能之中的一个。而在我们打开盒子之际,世界可能已经分裂了无数多个,有猫生的世界,有猫死的世界。这样的解释结合波函数来看是挺好理解的,因为波函数从没有发生坍缩,而是我们的世界就处于一种态叠加之中,我们所在的当前世界就是多重世界在某一个方向上的投影。这种解释虽然绕过了坍缩的问题,但是却引发了一系列的哲学问题。我们不禁要问,究竟哪一个才是我呢?如果把人放进了那个猫的实验,实际上在盒子里的我们就是观测者了,并处于多重世界中的某一个了。而在这些世界当中,必定有一些世界是我们没有死,而另外有一些则是我们已经死了。如果,在我们已经死了的世界里面讨论我们是毫无意义的,那么就等价于我们所存在的世界必定是我们所生存的世界,这岂不是放到实验中的我们永远不死了吗?这又是跟概率相矛盾的。

说到多重世界不禁令我想说说之前看的一部动漫《steins gate》。这里并不讨论其情节,但是里面有一点我比较认同,那就是即使回到过去了,也不能改变到现在。其中所用到的就是多世界的原理。就是说,你回到的是你当前所在世界的过去,并且在改变过去以后,世界线分裂了,跟这里说的世界分裂其实有点类似,你在改变过去以后已经没有回到现在的概念了,因为你有可能处于改变过去以后分裂出的多条世界线中的一条,你根本就不知道别的世界线上发生了什么事情。也就是说,不同的世界其实是正交的,这跟多世界理论所说的一致。

在多世界理论里面有一个观点是挺吸引我的,那就是上面说到的不同世界的正交性的问题。考虑世界的波函数,它每时每刻都是多个态的叠加,而这个态则是表示在某一个时刻世界的状态。那么如何描述这个世界的状态呢?对于一个普通的刚体,我们或许可以用一个六元组来描素,即三个方向上的坐标以及三个方向上的动量,这样的一个元组我们可以看作是六维空间里面的一个点。对于世界来说,由于世界可以看作是由微粒组成,如果我们对每个微粒都进行这样的描述,这样所得到的一个元组也可以看作是一个非常高维空间中的一个点,其随着时间来运动形成一条曲线。在二维空间中,我们随便画几条线是很容易相交的,但是一旦到了三维空间,这恐怕就没那么容易了,如果是更高维的空间,那么世界线相交的几率就会变得很低。所以我们可以想象用这种方式来描述的话,我们根本就不能察觉到平行世界的存在。

关于理论物理

之前看《生活大爆炸》的时候觉得Sheldon很自负,觉得自己搞理论物理就比别人高尚很多。其实看完这本书以后,我也有同感。因为物理学和哲学都是旨在揭示世界的运行规律(注意,是世界而不是人类社会),但是个人感觉哲学是净思考,但是物理是有依据的。虽然,可能在理论物理上,往往是先有理论然后有观测结果证实,但是理论从何而来呢?从既有的实验以及严密的数学推导。如果数学的基础没有问题的话,那么数学应该是描述世界客观运动规律的最简洁最客观的方法了,而理论物理则是用这些客观的手段来对世界进行解释,所以个人感觉要比哲学高尚一点,我并没有想挑起什么学科的高低贵贱划分等级,但是搞理论物理的,它们确实是在为解释世界而奋斗。

再有,自从量子物理诞生以来,物理可谓发生了翻天覆地的变化。这说明了一个问题,那就是现代物理有可能只是描述世界,解释世界的一种形式,或许某一天有新的观测无法用现有的物理来解释,那么就又有可能要重建现在的物理大厦了。科学的目的在于发现规律从而利用规律来推动社会的发展,方便人类的生活,其实只要当前的理论能解释当前世界所能观测到的物理现象,那么它无疑已经是成功的了,就像现在的量子物理。但是,顺着当前构建的大厦去思考一些问题的时候,就会毫无疑问地被导向本原的问题。

其实本人觉得本原的问题是没办法解决的。首先本原无法被观测,再有就是本原无法被解释。对于前者来说,如果本原被观测了,那么你如何证明那观测到的就是本原,这就导向了后者,但当你视图对本原进行解释的时候,你依旧不能解释你的解释是正确的。所以有时候我觉得我们有点可怜,就像二维的蜥蜴知道有三维的世界,并且它们还知道从三维的世界中就能看到它们所在世界的全貌,但是很可惜,它们并不能摆脱它们所处的二维世界。

关于今后学习

其实我本身就对数学物理充满兴趣,看完这本书以后不禁让我产生了学习量子物理的冲动,动因仅仅是兴趣,再有就是想感受一下那些艰辛卓绝所建立起来的数学模型究竟有多美。鉴于本人数学物理水平都有限,而且我本身也不是专业那些的,所以估计也只能当作是业余爱好来学,就跟语言一样,有时间了就看看,在漫长的人生中感受一些这些由伟人们呕心沥血出来的成果。

本书中还连带推荐了一些书,今后也打算看看,例如:《上帝掷骰子吗?——混沌之数学》,《皇帝新脑》,《超越时空》,《一个数学家的独白》之类的。

Linear Space and Euclidean Space

最近看到线性空间相关的内容,才发现以前好像就没理解过线性空间,做题也好像仅仅是套公式,做步骤。大一的时候大家都说线性代数比较抽象,难以理解,我感觉那是因为大家没有理解空间(space)这个概念,我也不能说自己就理解了,但是在线性代数里面,某些定理或者定义的描述确实与我们平常所接触到的高等数学不一样的。

公理化方法

百度百科上的定义如下:

公理化方法,就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题(即公理、公设)出发,按照逻辑规则推导出其他命题,建立起一个演绎系统的方法。

通过公理化方法所定义的概念毫无疑问是非常抽象的,因为它不加证明地为某个系统,某个域描述了一组“特性”,而且是一组基本特性。而人们认识事物的过程一般是通过认识了解事物外在的诸多特性来抽象出简洁的对事物的理解,这是抽象的过程。然而,如果直接给出事物内在抽象的根本的特性,你很难在短时间内建立起对这个事物的全方位的理解。当然,这里所说的事物实际上本身就是抽象的,我认为要通过简单的本质的描述来认识这样的事物有两种方法:

  1. 通过接触足够的实例(或者实体)来认识该抽象事物。
  2. 通过那抽象事物的已知的本质特性来推导出它更多的外在特性。

这两种方法各有优劣,而一般的教科书都是两种方法结合使用。先是通过公理化方法描述一个抽象的概念,然后通过一系列的例子来说明该抽象概念的本质特性(公理),接着就慢慢地通过这些本质特性推出更多的外在性质(定理,推论)。我觉得这种方法对于高层次的读者来说无疑是很合理的,但是如果读者本身对公理化定义的抽象概念完全不理解,那么再多的例子也是徒劳。

线性空间

我尝试以另一种方式来阐述线性空间的概念。其实能说的角度也是有限的,我也只能尽力而为。

在说线性空间之前,我觉得有必要说说向量空间。因为我们以前的教科书《Linear Algebra and Its Applications》(David C. Lay)确实使我将两者等同了,后来看了别的书以后,我就对这本书深恶痛极。本来拿我们熟悉的向量空间来做例子是最合适不过的,但是在书的中部说线性空间的时候,并没有将这两者明确分开,个人感觉有点不负责任。

首先看看这个向量空间是什么。个人觉得,这个空间可以理解为集合,向量空间就是向量的集合,所有的向量组成的集合就是向量空间。即全体实$n$元组所组成的集合就是$\Bbb R^n$,在这个向量空间上还定义了一堆的运算:向量加法,向量减法,向量数乘,点乘等等。注意,在这些运算定义的时候是这样表述的:

设$A = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$以及$B = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$是$\Bbb R^n$中的元素,$c \in \Bbb R$定义 $$ cA = (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n), \quad
A + B = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n) $$

其余的运算都是以类似的方式来进行公式定义。可以说向量空间只是线性空间的一个特例,可以看看如下线性空间的定义,以作对比:

令$V$表示已知对象的非空集合,我们称这些对象为元素。当集合$V$满足以下十条公理时,我们称其为线性空间

1. (对加法封闭) 对$V$中任意两个元素$x$和$y$,都有$V$中唯一元素与它们对应,这个元素称为$x$和$y$的和,记作$x+y$。
2. (对实数乘法封闭) 对$V$中任意元素$x$和任意实数$a$,都有$V$中唯一元素与它们对应,这个元素称为$x$和$a$的积,记作$ax$。
3. (加法交换律) 对$V$中任意元素$x$和$y$,我们都有$x+y=y+x$。
4. (加法结合律) 对$V$中任意元素$x,y,z$,我们都有$(x+y)+z=x+(y+z)$。
5. (零元的存在性) 在$V$中存在唯一的元素$O$,使得对$V$中的任意$x$,有$x+O=x$。
6. (负元的存在性) 在$V$中任意$x$,元素$(-1)$有性质$x+(-1)x=O$。
7. (乘法交换律) 对$V$中任意元素$x$和任意实数$a$和$b$,我们都有$a(bx)=(ab)x$。
8. (对$V$中加法的分配律) 对$V$中任意元素$x,y$以及任意实数$a$,我们都有$a(x+y)=ax+ay$。
9. (对实数加法的分配律) 对$V$中任意元素$x$以及任意实数$a,b$,我们都有$(a+b)x=ax+bx$。
10. (单位元的存在性) 在$V$中任意$x$,我们有$1x=x$。

可以看出两者定义的差异性,前者是用公式进行定义,后者是采用公理化方法进行定义。以上十条公理即使对线性空间的描述,就是说,只要满足了上述公理的空间都可以称为线性空间,这意味着元素是什么根本不是关键,而是元素在这个空间里面的行为。其线性性主要体现在对加法和数乘的规定上,可以注意到,上面的公理并没有指出两个线性空间的元素的乘积应该满足什么行为。考虑向量空间,两个向量的乘积有两种形式:点乘还有叉乘,前者的结果是一个实数,而后者则是一个向量。这意味着,空间对于这样的计算并没有封闭性。而线性空间是一个封闭的空间,所以并没有关于这类计算的公理。再有,由于这样的“乘法”定义并不唯一,将其作为公理,即这个空间的基石,也是不妥的。

既然线性空间是用公理化的方式来定义,那么其元素的性质可以说是完全没有限制的,只要它们的加法和数乘运算符合上述规则,那么它们所组成的空间就为线性空间。这样,定义或者判定线性空间要注意以下方面:

  • 空间里面的元素。
  • 定义在这些元素上的加法。
  • 定义在这些元素和实数上的数乘。
  • 是否满足十条公理。

这样,我们当即可以举出一些实例,例如$(\Bbb R,+, \times)$,这是我们最熟悉的实数空间,加法是实数加法,数乘是实数乘法。其实感觉我正是用教科书上的顺序来讲述…

函数空间

既然元素的类型没有限制,那就是说,我们完全可以用函数来作为元素,这就是线性空间的抽象性所带来的好处。根据上面所说的四要素,我们一步一步地定义函数空间。

  1. 函数就是这个空间里面的元素。
  2. 函数之间的加法可以定义为:$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$,其中$x$为$f$和$g$定义域的交集中的任意实数。
  3. 函数的数乘可以定义为:$(af)(x) = af(x)$,其中$a$为实数。

这样,我们就得到了空间$(f, +, \cdot)$。接下来就是要验证这个空间是否满足上面的十大公理。当然,这就得结合具体的函数族来进行验证了。由于教科书上都有很多例子,例如多项式,满足条件$f(1)=0$的函数等,这里就不再详述了。

欧氏空间

说起Euclid,其最大贡献要算是几何方面的了。向量空间可以说是欧几里得几何的解释模型,而$\Bbb R^n$也可以被称为欧氏空间。这样,平常所描述的线段的长度,线段之间的夹角都可以用向量空间里面定义的范数以及夹角来替代,这样在几何方面的演算就可以完全通过向量空间里面的运算来代替了。

既然我们已经把向量空间抽象为更高层次的线性空间了,但是在线性空间里面并没有相应于向量空间里面的范数,夹角等定义,那么我们怎么在线性空间里面进行那些有用的类几何演算(比如投影,正交之类)呢?

于是为了解决这样的问题很简单,只需要添加新的规则就好了。于是就有如下定义:

赋予了一个正定对称双线性型的实线性空间$V$称为欧氏空间。

当然,这是一个极为抽象的简短的概括的定义。我之所以用这个定义,正是因为它够抽象。先除去那些“正定”,“对称”,“双线性型”等字眼,我们可以看出欧氏空间仅仅比线性空间多了一点点的东西,那就是我们前面所说的,基于线性空间元素之间的运算。我们可以抽象地将这种运算表示为$(x, y)$,其中$x$和$y$都是$V$里面的元素。这样,只要在线性空间上定义了这种运算,就可以得到一个欧氏空间。而这种运算必须满足正定对称两种性质,而且这是一个双线性型。对于这三者的含义在此就不详述了,因为这里不是教科书,这些分解只是为了方便理解线性空间与欧氏空间的区别及联系罢了。

稍微总结一下,定义这样的运算的目的在于:在通常意义的欧氏几何中,几何图形的依赖于线段长度和直线间夹角的性质称为度量性质,在研究$\Bbb R^n$时,我们用了点积定义了长度和夹角,现在我们希望将这些概念推广到更一般的线性空间中去,为此我们将添加了这样定义运算的线性空间为欧氏空间,其命名的原因也可想而知。

The Definition of Irrational

最近在读《数学是什么》,再次碰到了有关数的一些问题。这令我回想起大一时候所学的高数,以及当时所看的《从一到无穷大》里面说到的一些问题。印象最深刻的要数实数的定义了。还记得当初初中的时候就接触过如下的定义:

有理数就是有限或无限循环小数,无理数就是无限不循环小数。

其实一直到大学,我都觉得这个定理没什么特别,理所当然地将其接受了。但是无可否认,这个定义是有缺陷的。因为我们是从十进制的角度来对其作出定义(因为有理数可以表示为有理分式,如$a/b$,那么将其化为小数的时候,毫无疑问做了十进制的除法),这就相当与这个定义与十进制挂钩了。由于十进制系统并非显示事物本质的唯一方式,所以才希望给出一个更为一般的定义。

区间套定义

我们把全体无限小数称为数的连续统(continuum),或实数系,这就是有理数跟无理数的统称。为了抛开进制来对其进行定义,引入了区间套的概念。

让我们考虑数轴上任意一串以有理点为端点的区间$I_1, I_2, \cdots, I_n, \cdots$,它们的每一个包含在前一个里面,且使得当$n$增大时,第$n$个区间$I_n$的长度趋向于0,这样的一列区间称为一组区间套对应于每一组这样的区间套,在数轴上恰有一个点包含在所有的这些区间中。

根据定义,这个(各个区间套的公共点)就称为实数,如果这个不是有理点,就称之为无理数

这个定义简洁明了,如果$n$是有理数的话,那么它必定会无限靠近于那些有理区间的某一个端点,也有可能就是某个有理区间的端点;如果它是无理数,那么就将需要无限个区间套了,并且它不会靠近那些区间套的左端点或者右端点,而是有可能在两个端点之间波动。从纯粹形式的观点来看,首先,我们可以在直线上只作出有理点,然后,定义一个无理点是某个有理端点区间套的一个符号,一个无理点完全由长度趋于零的有理端点区间套来描述。这实际上是说,我们并不能直观地看到线段上的无理点,但是我们知道它的存在(如$\sqrt 2$等),于是我们就通过用我们所能观察到的(有理点)对这些我们不能观察到的但是却又存在的数进行定义,使之具有的数学性质方便我们能像操纵有理数那样操纵它们(如基本四则运算,大小比较关系等)。这实质上已经对有理数域进行了推广。

Dedekind分割

还有一种对对无理数的定义,它是由德国数学家Dedekind提出的。

假设给定某种方法,把全体有理数集分为两类$A$和$B$,使得$B$类的每一个元素$b$都大于$A$类的每一个元素$a$。任何一个这种分类称为有理数集的一个分割,记为$A|B$。对于一个分割恰有三中可能,其中有且只有一种必定成立

1) $A$有一个最大元素$a^*$。例如$A$是所有$\leq 1$的有理数,而$B$是所有$\gt 1$的有理数。
2) $A$有一个最小元素$b^*$。例如$A$是所有$\lt 1$的有理数,而$B$是所有$\geq 1$的有理数。
3) $A$中没有最大元素且$B$中也没有最小元素。

在第三种情况中,Dedekind称这种分割定义了一个无理数,或简单地说这种分割就是一个无理数。这种分割的定义和用区间套所作出的定义是一致的。扩充有理数域至实数域的直接意义在于,至此,实数与数轴上的点的一一对应关系就建立起来了。这是从高中课本中给出的,但是其中还有如此神乎其神的定义,确实开了不少眼界。

Translation: Parler à Mon Père

最近听到一首Celine Dion的歌,非常喜欢其舌音,在此分享一下。

Je voudrais oublier le temps 我希望忘却时间
Pour un soupir pour un instant 为了暂时的歇息
Une parenthèse après la course 这是人生长跑中的小憩
Et partir où mon cœur me pouce 为了奔向我心所想
Je voudrais retrouver mes traces 我希望找回我的
Où est ma vie ou est ma place 生活轨迹
Et garder l’or de mon passé 并且在温暖的秘密花园中
Au chaud dans mon jardin secret 守护着那流金岁月

Je voudrais passer l’océan, croiser le vol d’un goéland 我希望跨洋过海,与海鸥交织翱翔
Penser à tout ce que j’ai vu ou bien aller vers l’inconnu 去思考我之所见,不如奔向未知
Je voudrais décrocher la lune, je voudrai même sauver la terre 我希望摘下月亮,我甚至希望拯救地球
Mais avant tout je voudrais parler à mon père 但是在这之前,我想跟父亲说
Parler à mon père... 跟父亲说...

Je voudrais choisir un bateau 我想挑一条船
Pas le plus grand ni le plus beau 并不用太大,也不用太漂亮
Je le remplirais des images 我要用我旅行的照片和香水
Et des parfums de mes voyages 将其填满

Je voudrais freiner pour m’assoir 我要放慢速度坐下来
Trouver au creux de ma mémoire 找到记忆的空隙
Des voix de ceux qui m’ont appris 这些声音教会了我
Qu’il n’y a pas de rêve interdit 不要让梦想停止

Je voudrais trouver les couleurs, des tableaux que j’ai dans le cœur 我希望找到心之画卷的斑斓色彩
De ce décor aux lignes pures, où je vous voie et me rassure, 在这些简单的线条装饰中,我看到了你,这使我安心
Je voudrais décrocher la lune, je voudrais même sauver la terre 我希望摘下月亮,我甚至希望拯救地球
Mais avant tout je voudrais parler à mon père 但是在这之前,我想跟父亲说
Parler à mon père... 跟父亲说...

Je voudrais oublier le temps 我希望忘却时间
Pour un soupir pour un instant 为了暂时的歇息
Une parenthèse après la course 这是人生长跑中的小憩
Et partir où mon cœur me pouce 为了奔向我心所想
Je voudrais retrouver mes traces 我希望找回我的
Où est ma vie ou est ma place 生活轨迹
Et garder l’or de mon passé 并且在温暖的秘密花园中
Au chaud dans mon jardin secret 守护着那流金岁月

Je voudrai partir avec toi 我希望和你一起启航
Je voudrai rêver avec toi 我希望和你一起梦想
Toujours chercher l’inaccessible. 一直去追寻那些遥不可及的梦想
Toujours espérer l’impossible 一直去期望不可能之物

Je voudrais décrocher la lune, je voudrais même sauver la terre 我希望摘下月亮,我甚至希望拯救地球
Mais avant tout je voudrais parler à mon père 但是在这之前,我想跟父亲说
Parler à mon père... 跟父亲说...

Je voudrais parler à mon père 我想跟父亲说
Parler à mon père... 跟父亲说...

在第二段中,有一句跟老师讨论了一下,但是没有什么结论,毕竟这句话还是得看理解的。

Je voudrais trouver les couleurs, des tableaux que j’ai dans le cœur de ce décor aux lignes pures, où je vous voie et me rassure.

这句话可以按照上面的歌词那样分开两句,我翻译的时候也是这样分开两句来翻译,好像没什么联系。但是如果把两句从“de”的地方合起来,就得到一个“trouver qch. de qch.”的结构,意为“从…找到…”,这样整句话就可以理解为:从那些没有色彩的线条画中去寻找色彩。这样似乎比较符合逻辑,同时,“je vous voie”用的是虚拟式,就更为符合上面所说的逻辑了,因为线条画本身就没有色彩。

不过老师说既然是歌曲,句与句之间不用强调太多的连续性,其实看了一些歌词以后,我也发现法语歌的连贯性比较少,但是整首歌的意思却比较有感觉。翻译…还是慢慢来积累吧…这首歌其实我感觉我翻译得并不好,有些地方确实难以理解…